Verifique que a equação dada é da forma

d y d x = f y x

Utiliza, então, o Exercício 12 para determinar uma família de soluções da equação dada.

d ) d y d x = y x + 3 tan ⁡ y x

Passo 1

Fazendo:

u = y x → y = x u

A equação inicial se torna

d y d x = u + 3 tan ⁡ u

Aplicando o T e o r e m a   d a   S e ç ã o   10.6 :

d y d x = u + x d u d x = u + 3 tan ⁡ u

x d u d x = u + 3 tan ⁡ u - u = 3 tan ⁡ u

Passo 2

Separando as variáveis:

d u 3 tan ⁡ u = d x x

∫ d u 3 tan ⁡ u = ∫ d x x

Integrando:

1 3 ln ⁡ ( s e n   u ) = ln ⁡ x

Voltando u = y x :

1 3 ln ⁡ s e n y x = ln ⁡ x

1 3 s e n y x = x

s e n y x = 3 x

y = x s e n - 1 3 x

Resposta

y = x s e n - 1 3 x

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