Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

d )   x ˙ 2 + x 2 = 1 ,     x 1 = 0

Passo 1

Primeiramente, procuraremos uma forma de solucionar esta equação. Vamos descobrir se essa equação é separável.

Neste caso, primeiramente, passaremos x 2 para o outro lado da equação, tendo:

x ˙ 2 = 1 - x 2

Passo 2

Agora, aplicaremos raiz quadrada dos dois lados da equação, assim:

x ˙ = 1 - x 2

Substituindo x ˙ = d x d t temos:

d x d t = 1 - x 2

Passo 3

Passando d t para o outro lado multiplicando e 1 - x 2 para o outro lado dividimos, temos:

d x 1 - x 2 = 1 ⋅ d t

Integrando dos dois lados, temos:

arcsin ⁡ x = t + c

Passo 4

Agora, no intuito de isolar x, “aplicaremos” seno dos dois lados, tendo assim:

x = s i n ⁡ ( t + c )

Passo 5

Aplicando a condição inicial, temos que:

0 = s i n ⁡ ( 1 + c )

Para o seno dar 0, temos que 1 + c = 0

Ou seja,

c = - 1

Passo 6

Substituindo o valor de c na função, temos que:

x = s i n ⁡ ( t - 1 )

Resposta

A função solução da equação se dá por:

x = s i n ⁡ ( t - 1 )

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