Verifique que a equação dada é da forma

d y d x = f y x

Utiliza, então, o Exercício 12 para determinar uma família de soluções da equação dada.

c )   x - y   d x + x + y   d y = 0

Passo 1

Ajeitando a equação:

  d y d x = - x - y x + y = y - x x + y    

Fazendo:

u = y x → y = x u

A equação inicial se torna

d y d x = x u - x x + x u = u - 1 1 + u

Aplicando o T e o r e m a   d a   S e ç ã o   10.6 :

d y d x = u + x d u d x = u - 1 1 + u

x d u d x = u - 1 1 + u - u = - 1 - u 2   u + 1

Passo 2

Separando as variáveis:

u + 1 - 1 - u 2   d u = d x x

∫ u + 1 - 1 - u 2   d u = ∫ d x x

Integrando:

- 1 2 ln ⁡ 1 + u 2 - arctan ⁡ u = ln ⁡ x

Voltando u = y x :

- 1 2 ln ⁡ 1 + y 2 x 2 - arctan ⁡ y x = ln ⁡ x

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 1 + y 2 x 2 - arctan ⁡ y x = ln ⁡ x

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