Verifique que a equação dada é da forma

d y d x = f y x

Utiliza, então, o Exercício 12 para determinar uma família de soluções da equação dada.

b ) d y d x = 4 x + y y - 2 x

Passo 1

Fazendo:

u = y x → y = x u

A equação inicial se torna

d y d x = 4 x + x u x u - 2 x = 4 + u u - 2

Aplicando o T e o r e m a   d a   S e ç ã o   10.6 :

d y d x = u + x d u d x = 4 + u u - 2

x d u d x = 4 + u u - 2 - u = 4 - u 2 + 3 u u - 2

Passo 2

Separando as variáveis:

u - 2 4 - u 2 + 3 u   d u = d x x

∫ u - 2 4 - u 2 + 3 u   d u = ∫ d x x

Integrando:

- 3 5 ln ⁡ u + 1 - 2 5 ln ⁡ u - 4 + 1 = ln ⁡ x

Voltando u = y x :

- 3 5 ln ⁡ y x + 1 - 2 5 ln ⁡ y x - 4 + 1 = ln ⁡ x

Resposta

- 3 5 ln ⁡ y x + 1 - 2 5 ln ⁡ y x - 4 + 1 = ln ⁡ x

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