Verifique que é exata e resolva.

(2 x + 3 y) d x + ( 3 x + 2 y ) d y = 0

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma letrinhaa!!

Para que a equação acima seja exata nós vamos chamar:

(d phi)/(d x) = 2 x + 3 y

(d phi)/(d y) = 3 x + 2 y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função phi = phi ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d phi = (2 x + 3 y) . d x

Quando nós integramos:

phi = x^2 + 3 x y

Agora, para ter a segunda condição:

d phi = (3 x + 2 y) . d y

Quando nós integramos:

phi = 3 x y + y^2

Se é assim:

phi ( x , y ) = x^2 + 3 x y + y^2

Portanto nós concluímos que a equação (2 x + 3 y) d x + ( 3 x + 2 y ) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x^2 + 3 x y + y^2 = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = x^2 + 3 x y + y^2

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