Determine uma função y = y ( x ) cujo gráfico passe pelo ponto ( 2 ,   1 ) e tal que o produto da função pela sua derivada seja igual à metade da soma da função com a sua derivada.

Passo 1

Bora dar continuidade?

O problema nos disse que o produto da função pela sua derivada seja igual à metade da soma da função com a sua derivada:

y . y ' = y + y ' 2

Explicitando y ' :

2 y y ' = y + y '

2 y y ' - y ' = y

( 2 y - 1 ) y ' = y

y ' = y 2 y - 1

Substituindo:

y ' = d y d t

Então:

d y d x = y 2 y - 1

Vamos reorganizar a equação:

2 y - 1 y d y = d x

Ou melhor:

2 - 1 y d y = d x

Integrando:

2 y - ln ⁡ y = x + C

Como o gráfico passa pelo ponto ( 2 ,   1 ) :

2 . 1 - ln ⁡ 1 = 2 + C

C = 0

Então:

x = 2 y - ln ⁡ y

Portanto, a função y = y ( x ) é dada por x = 2 y - ln ⁡ y .

O que acharam desta daqui?

Resposta

x = 2 y - ln ⁡ y

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