Verifique se as séries abaixo são convergentes. Justifique

∑ n = 1 + ∞ 1 n 3 n 2 + 3

Passo 1

Critério de comparação. Sejam as séries ∑ k = 0 + ∞ a k e ∑ k = 0 + ∞ b k . Suponhamos que exista um nartual p tal que, para todo k ≥ p , 0 ≤ a k ≤ b k . Nesta condições, tem-se:

i ∑ k = 0 + ∞ b k   c o n v e r n t e   ⟹   ∑ k = 0 + ∞ a k   c o n v e r g e n t e

i i ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e   ⟹   ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e

Critério do Limite. Sejam ∑ k = 0 + ∞ a k e ∑ k = 0 + ∞ c k duas séries, com a k > 0 e c k > 0 , para todo k ≥ q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

lim k → + ∞ ⁡ a k c k = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + ∞ e se c k diverge, então a k também converge.

Se L = 0 se c k converge então a k também converge.

Passo 2

Vamos usar o teste da comparação. Observe que

1 n 3 n 2 + 3 < 1 n 3

Ou seja, se a série

∑ n = 1 + ∞ 1 n 3

For convergente, então a nossa série original também é. Mas repare, nossa série acima, é uma p-série com p = 3 , ou seja, nossa série é convergente. Assim pelo teste da comparação, temos que nossa série original também é convergente.

Resposta

C o n v e r g e

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