Seja um real dado. Prove
- é divergente.
Passo 1
Nesse problema usar o critério do limite para com uma série que já conhecemos, dada por
que é divergente. Quando aplicarmos o critério do limite, veremos que também é possível aplicar L’Hospital e poderemos avaliar como o limite se comporta.
Passo 2
Bom, vamos começar. Vamos aplicar utiliza aquela sequência dada no passo 1. Dividindo por , vamos ter que:
Aplicando L’Hospital, já que da uma indeterminação do tipo , vamos ter uma relação um tanto quanto engraçada, pois será a mesma a menos de uma constante. Derivando no numerador e no denominador, vamos chegar que:
Mas como nosso denominador está sendo multiplicado por um fator , teremos que ele tenderá para infinito primeiro, assim nosso limite fica
E como nossa série de comparação era divergente, temos que nossa série inicial também será.
Resposta
Divergente