Seja gamma > 0 um real dado. Prove

  1. sum_(k = 2)^(+ oo) (1)/((ln k)^(gamma)) é divergente.

Passo 1

Nesse problema usar o critério do limite para com uma série que já conhecemos, dada por

c_k = (1)/(k) .

que é divergente. Quando aplicarmos o critério do limite, veremos que também é possível aplicar L’Hospital e poderemos avaliar como o limite se comporta.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar utiliza aquela sequência dada no passo 1. Dividindo a_k por c_k , vamos ter que:

underset(k -> + oo)(lim) ((1)/((ln k)^(gamma)))/((1)/(k)) = underset(k -> + oo)(lim) (k)/((ln k)^(gamma))

Aplicando L’Hospital, já que da uma indeterminação do tipo (oo)/(oo) , vamos ter uma relação um tanto quanto engraçada, pois será a mesma a menos de uma constante. Derivando no numerador e no denominador, vamos chegar que:

underset(k -> + oo)(lim) (k)/((ln k)^(gamma)) = underset(k -> + oo)(lim) (1)/(gamma * (ln k)^(gamma - 1) * (1)/(k)) = underset(k -> + oo)(lim) (k)/(gamma * (ln k)^(gamma - 1))

Mas como nosso denominador está sendo multiplicado por um fator gamma , teremos que ele tenderá para infinito primeiro, assim nosso limite fica

underset(k -> + oo)(lim) (k)/(gamma * (ln k)^(gamma - 1)) = 0

E como nossa série de comparação era divergente, temos que nossa série inicial também será.

Resposta

Divergente

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