Verifique que as séries são convergentes. Justifique
Sugestão: verifique que para todo
Passo 1
Vamos analisar primeiro o comportamento das funções e . Para temos algo bastente simples, certo? Uma função crescente que varia de até o . A função podemos analisa-la primeiro por
E
Tome também que sua derivada é
Onde para todo ela é positiva sempre, logo ela é crescente.
Bom, então analisando
Passo 2
Primeiro vamos ver como a função se comporta quando cresce. Assim
Ou seja, cresce mais rapidamente do que consegue acompanhar.
Para pontos próximos ao zero,
Ou seja, quando nos aproximamos de zero, temos que nossa funções tendem a possuir o mesmo valor, ou seja
Mas o que concluímos então? Que
E como vimos no item , temos que a série
É convergente. Logo temos que
Também é convergente pelo critério da comparação.
Resposta
convergente