Verifique que as séries são convergentes. Justifique

∑ n = 1 + ∞ arctan ⁡ 1 n 3 n 2 + 3

Sugestão: verifique que arctan ⁡ x < x para todo x > 0

Passo 1

Vamos analisar primeiro o comportamento das funções arctan ⁡ x e x . Para x temos algo bastente simples, certo? Uma função crescente que varia de x > 0 até o + ∞ . A função arctan ⁡ x podemos analisa-la primeiro por

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x = + ∞

E

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x = 0

Tome também que sua derivada é

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Onde para todo x ela é positiva sempre, logo ela é crescente.

Bom, então analisando

arctan ⁡ x x

Passo 2

Primeiro vamos ver como a função se comporta quando cresce. Assim

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x x = L ' H o p i t a l = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + x 2 = + ∞

Ou seja, x cresce mais rapidamente do que arctan ⁡ x consegue acompanhar.

Para pontos próximos ao zero,

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x x = L ' H o p i t a l = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 2 = 1

Ou seja, quando nos aproximamos de zero, temos que nossa funções tendem a possuir o mesmo valor, ou seja arctan ⁡ x → x

Mas o que concluímos então? Que

∑ n = 1 + ∞ arctan ⁡ 1 n 3 n 2 + 3 < ∑ n = 1 + ∞ 1 n 3 n 2 + 3

E como vimos no item ( a ) , temos que a série

∑ n = 1 + ∞ 1 n 3 n 2 + 3

É convergente. Logo temos que

∑ n = 1 + ∞ arctan ⁡ 1 n 3 n 2 + 3

Também é convergente pelo critério da comparação.

Resposta

convergente

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