É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 2)^(+ oo) (1)/(k^2 ln k)

Passo 1

Critério da comparação. Sejam as séries sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) b_k . Suponha que exista um um natural p tal que, para todo k >= p , 0 <= a_k <= b_k . Nesta condições, tem-se:

(i) sum_(k = 0)^(+ oo) b_k c o n v e r g e n t e ⟹ sum_(k = 0)^(+ oo) a_k c o n v e r g e n t e

( i i ) sum_(k = 0)^(+ oo) a_k d i v e r g e n t e ⟹ sum_(k = 0)^(+ oo) a_k d i v e r g e n t e

Passo 2

Agora sabendo o critério da comparação, tome a seguinte série

sum_(k = 2)^(+ oo) (1)/(k^2)

Uma p - s é r i e com p = 2 , como p - s é r i e s com p > 1 são ditas convergentes e p <= 1 são ditas divergentes, temos que nossa série é convergente.

Como temos que

(1)/(k^2) > (1)/(k^2 ln k)

Então pelo teste da razão

sum_(k = 2)^(+ oo) (1)/(k^2 ln k)

Também converge.

Resposta

convergente

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