Enunciado

  1. Para as bobinas acopladas na Figura 13.74a, demonstre que
  2. L e q = L 1 + L 2 + 2 M

  3. Para as bobinas acopladas na Figura 13.74b demonstre que

L e q = L 1 L 2 - M 2 L 1 + L 2 - 2 M

Passo 1

All right! Vamo que vamo! Primeiro vamos observar que para a conexão em série mostrada na figura abaixo a corrente I entra em cada bobina a partir do seu terminal pontilhado. Portanto, as tensões induzidas mutuamente têm o mesmo sinal que as tensões auto-induzidas. Portanto,

L e q = L 1 + L 2 + 2 M

Passo 2

O item a) foi tranquilo. O item b) n vai ser diferente! Temos esse circuito:

I s = I 1 + I 2 ,     e   Z e q = V s I s  

Aplicando LKV para o circuito, temos que:

V s = j ω L 1 I 1 + j ω M I 2

V s = j ω M I 1 + j ω L 2 I 2

Ou,

V s V s = j ω L A j ω M j ω M j ω L 2 I 1 I 2

Passo 3

Portanto, para essa matriz, temos:

Δ = - ω 2 L 1 L 2 + ω 2 M 2 ,     Δ 1 = j ω V s L 2 - M ,     Δ 2 = j ω V s ( L 1 - M )

I 1 = Δ 1 Δ   e   I 1 = Δ 2 Δ

Portanto para achar a corrente total, vamo somar as duas com os valores dos detlas já achados!

I s = I 1 + I 2 = Δ 1 Δ + Δ 2 Δ = j ω V s L 2 - M - ω 2 L 1 L 2 + ω 2 M 2 + j ω V s ( L 1 - M ) - ω 2 L 1 L 2 + ω 2 M 2 = L 1 + L 2 + 2 M V s j ω ( L 1 L 2 - M 2 )

Passo 4

Portanto para finalizar voltamos para a formula da impedância equivalente!

Z e q = V s I s = j ω ( L 1 L 2 - M 2 ) L 1 + L 2 - 2 M = j ω L e q

∴ L e q = L 1 L 2 - M 2 L 1 + L 2 - 2 M

Resposta

L e q = L 1 L 2 - M 2 L 1 + L 2 - 2 M

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