Enunciado

Para o circuito com amplificador operacional da Figura 7.138, seja R 1 = 10 k Ω , R f = 20 k Ω , C = 20 μ F e v(0) = 1 V. Determine v 0 .

Passo 1

Para resolver este circuito, vamos utilizar a análise por tensões de nó, portanto o circuito fica:

Passo 2

Agora que já dividimos o circuito em nós vamos obter as equações para cada nó.

Para o nó 2:

v 2 - v 1 R 1 + C d v d t = 0

Para o nó 3:

- C d v d t + v 3 - v 0 R f = 0

Por conta do amplificador operacional sabemos que v 3 = 0 .

Observe também que

v = v 2 - v 3

Logo,

v = v 2

Simplificando a eq do nó 2, temos:

v 1 - v R 1 = C d v d t

v 1 - v = R 1 C d v d t

Ou,

d v d t + v R 1 C = v 1 R 1 C

Passo 3

O próximo passa é resolver esta equação diferencial. Sabemos que a solução dela é dada por:

v t =   v T                                                                   t < 0 v 1 + v T - v 1 e - t / τ   t > 0  

De modo que, a questão nos oferece

v T = v 0 = 1

v 1 = 4

Agora só substituir na equação, sabemos que

τ = R 1 C = 10 * 10 3 20 * 10 - 6 = 0.2

Portanto,

v t =   1                                     t < 0 4 - 3 e - 5 t     t > 0

Passo 4

Lembre-se que a questão nos pede é v 0 . Mas já sabemos do nó 3 que:

- C d v d t - v 0 R f = 0

Simplificando,

v 0 =   - R f C d v d t

Como,

d v d t = 15 e - 5 t

Então

v 0 = 20 * 10 3 20 * 10 - 6 15 e - 5 t

v 0 =   - 6 e - 5 t   ,       t > 0  

Ou,

v 0 =   - 6 e - 5 t u t     V

Resposta

v 0 =   - 6 e - 5 t u t     V

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