Enunciado

Dadas as funções a seguir

x t = 2 δ t ,       y t = 4 u t ,       z t = e - 2 t u t

Calcule as seguintes operações:

x t * z t

Passo 1

Pois bem, da teoria, sabemos que * representa a convolução de duas funções e que tem a seguinte definição:

x t * z t = ∫ 0 ∞ x τ z t - τ d τ  

Ou

x t * z t = ∫ 0 ∞ z τ x t - τ d τ  

Substituindo então as nossas funções x e z aqui (trocando o t por τ ou t - τ ):

x t * z t = ∫ 0 ∞ e - 2 τ u τ ⋅ 2 δ t - τ d τ   →

Poxa, pela definição, da convolução envolvendo o delta de dirac, o resultado é a própria função em t ...

x t * z t = 2 e - 2 t u t

Resposta

x t * z t = 2 e - 2 t u t

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