Dado que v (0) = 2 e (d v (0))/(d t) = 4 , resolva

(d^2 v)/(d t ²) + 5 (d v)/(d t) + 6 v = 10 e^(- t) u ( t )

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L {f^n (t)} = s^n L {f (t)} - s^(n - 1) f (0) - s^(n - 2) f (0) - ... - f^(n - 1) ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

(s^2 V (s) - s v (0) - v^' (0)) + 5 (s V (s) - v (0)) + 6 V (s) = (10)/(s + 1)

Passo 2

Agora vamos substituir v ( 0 ) e v ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

(s^2 V (s) - s . 2 - 4) + 5 (s V (s) - 2) + 6 V (s) = (10)/(s + 1)

s^2 V (s) - 2 s + 5 s V (s) - 14 + 6 V (s) = (10)/(s + 1)

Passando - 2 s - 14 pro outro lado e colocando V ( s ) em evidência:

V (s) . ( s^2 + 5 s + 6 ) = - 2 s - 14 (10)/(s + 1)

V (s) . ( s + 2 ) ( s + 3 ) = ((- 2 s - 14) . (s + 1))/(s + 1) (10)/(s + 1)

Lembrando: as raízes de ( s^2 + 5 s + 6 ) são - 2 e - 3 , então podemos fatorar como (s + 2) . ( s + 3 )

Nosso próximo passo é isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v (t) , solução da equação diferencial :)

V (s) = (2 s^2 + 16 s + 24)/(( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ))

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

(2 s^2 + 16 s + 24)/(( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )) = (A)/(s + 1) + (B)/(s + 2) + (C)/(s + 3)

Fazendo aquele processinho de frações parciais dos exercícios da seção anterior, encontramos

A = 5

B = 0

C = - 3

Então:

(2 s^2 + 16 s + 24)/(( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )) = (5)/(s + 1) - (3)/(s + 3)

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa com base nos modelos que já temos, assim:

v (t) = 5 e^(- t) - 3 e^(- 3 t)

Resposta

v (t) = 5 e^(- t) - 3 e^(- 3 t)

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