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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 51

Dado que v 0 = 2 e d v 0 d t = 4 , resolva

d 2 v d t ² + 5 d v d t + 6 v = 10 e - t u ( t )

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 V s - s v 0 - v ' 0 + 5 s V s - v 0 + 6 V s = 10 s + 1

Passo 2

Agora vamos substituir v ( 0 ) e v ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 V s - s . 2 - 4 + 5 s V s - 2 + 6 V s = 10 s + 1

s 2 V s - 2 s + 5 s V s - 14 + 6 V s = 10 s + 1

Passando - 2 s - 14 pro outro lado e colocando V ( s ) em evidência:

V s . ( s 2 + 5 s + 6 ) = - 2 s - 14 10 s + 1

V s . ( s + 2 ) ( s + 3 ) = - 2 s - 14 . s + 1 s + 1 10 s + 1

Lembrando: as raízes de ( s 2 + 5 s + 6 ) são - 2 e - 3 , então podemos fatorar como s + 2 . ( s + 3 )

Nosso próximo passo é isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação diferencial :)

V s = 2 s 2 + 16 s + 24 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

2 s 2 + 16 s + 24 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) = A s + 1 + B s + 2 + C s + 3

Fazendo aquele processinho de frações parciais dos exercícios da seção anterior, encontramos

A = 5

B = 0

C = - 3

Então:

2 s 2 + 16 s + 24 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) = 5 s + 1 - 3 s + 3

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa com base nos modelos que já temos, assim:

v t = 5 e - t - 3 e - 3 t

Resposta

v t = 5 e - t - 3 e - 3 t

Ver Outros Exercícios desse livro