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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 59

Resolva a equação integro-diferencial

d y d t + 4 y + 3 ∫ 0 t y   d λ = 6 e - 2 t

y 0 = - 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

s Y s - y 0 + 4 Y s + 3 s Y s = 6 s + 2

Substituindo y 0 = - 1

s Y s - ( - 1 ) + 4 Y s + 3 s Y s = 6 s + 2

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s + 4 + 3 s = 6 s + 2 - 1

Y s . s + 4 + 3 s = 6 s + 2 - s + 2 s + 2

Y s . s + 4 + 3 s = - s + 4 s + 2

Passo 2

Agora vamos isolar Y ( s ) , pois assim teremos a expressão de Y ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos y t , solução da equação diferencial :)

Y s = - s + 4 s + 2 . s + 4 + 3 s

Multiplicando em cima e embaixo por s :

Y s = s - s + 4 s s + 2 . s + 4 + 3 s

Y s = s - s + 4 s + 2 . s ² + 4 s + 3

Como as raízes de s ² + 4 s + 3 são - 3 e - 1 :

Y s = s 4 - s s + 2 . s + 3 . ( s + 1 )

Passo 3

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de Y ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

s 4 - s s + 2 . s + 3 . ( s + 1 ) = A s + 2 + B s + 3 + C s + 1

Fazendo todo aquele processinho de frações parciais que vimos nos exercícios da seção anterior, encontramos:

A = 12

B = - 10,5

C = - 2,5

Então:

s 4 - s s + 2 . s + 3 . ( s + 1 ) = 12 s + 2 - 10,5 s + 3 - 2,5 s + 1

Agora, temos modelos de transformadas inversas que já conhecemos. Calculando a inversa de cada um dos termos então:

y t = 12 e - 2 t - 10,5 e - 3 t - 2,5 e - t

Resposta

y t = 12 e - 2 t - 10,5 e - 3 t - 2,5 e - t

Ver Outros Exercícios desse livro