Resolva a equação integro-diferencial

(d y)/(d t) + 4 y + 3 int_0^t y d lambda = 6 e^(- 2 t)

y (0) = - 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

(s Y (s) - y (0)) + 4 Y (s) + (3)/(s) Y (s) = (6)/(s + 2)

Substituindo y (0) = - 1

(s Y (s) - ( - 1 )) + 4 Y (s) + (3)/(s) Y (s) = (6)/(s + 2)

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y (s) . (s + 4 + (3)/(s)) = (6)/(s + 2) - 1

Y (s) . (s + 4 + (3)/(s)) = (6)/(s + 2) - (s + 2)/(s + 2)

Y (s) . (s + 4 + (3)/(s)) = (- s + 4)/(s + 2)

Passo 2

Agora vamos isolar Y ( s ) , pois assim teremos a expressão de Y ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos y (t) , solução da equação diferencial :)

Y (s) = (- s + 4)/((s + 2) . (s + 4 + (3)/(s)))

Multiplicando em cima e embaixo por s :

Y (s) = (s (- s + 4))/(s (s + 2) . (s + 4 + (3)/(s)))

Y (s) = (s (- s + 4))/((s + 2) . (s ² + 4 s + 3))

Como as raízes de s ² + 4 s + 3 são - 3 e - 1 :

Y (s) = (s (4 - s))/((s + 2) . (s + 3) . ( s + 1 ))

Passo 3

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de Y ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

(s (4 - s))/((s + 2) . (s + 3) . ( s + 1 )) = (A)/(s + 2) + (B)/(s + 3) + (C)/(s + 1)

Fazendo todo aquele processinho de frações parciais que vimos nos exercícios da seção anterior, encontramos:

A = 12

B = - 10,5

C = - 2,5

Então:

(s (4 - s))/((s + 2) . (s + 3) . ( s + 1 )) = (12)/(s + 2) - (10,5)/(s + 3) - (2,5)/(s + 1)

Agora, temos modelos de transformadas inversas que já conhecemos. Calculando a inversa de cada um dos termos então:

y (t) = 12 e^(- 2 t) - 10,5 e^(- 3 t) - 2,5 e^(- t)

Resposta

y (t) = 12 e^(- 2 t) - 10,5 e^(- 3 t) - 2,5 e^(- t)

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