Enunciado

Dado que

f t = ∑ n = 1 n = í m p a r ∞ 20 n 2 ⋅ π 2 ⋅ cos ⁡ 2 π t - 3 n π ⋅ s e n 2 π t

Represente graficamente os cinco termos dos espectros de amplitude e de fase para a função.

Passo 1

Dado que a nossa função já veio representada na forma “natural” de Fourier vamos extrair o valor dos nossos coeficientes para facilitar nossas contas

a n = 20 n 2 ⋅ π 2 ,     b n = - 3 n π ,     ω n = 2 n

Com esses dados podemos escrever nossos dados para a forma de magnitude utilizando a seguinte transformação

A n = a n 2 + b n 2 = 400 n 4 π 4 + 9 n 2 π 2 = 3 n π ⋅ 1 + 44.44 n 2 π 4 ,     n = 1,2 , 3,4 , 5 …

Para facilitar nossa conta montemos a seguinte tabela

Assim, nosso espectro de amplitude fica sendo

Passo 2

Agora, para o espectro de fase vamos utilizar a seguinte fórmula

ϕ n = arctan ⁡ b n a n = arctan ⁡ - 3 n π ⋅ n 2 π 2 20 ≈ arctan ⁡ - 0.4712 n

Dessa forma, para os variados valores de n vamos poder montar a seguinte tabela

Com isso, nosso espectro de fase fica sendo

Resposta

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