Determine f ( t ) se:

  1. F (omega) = 2 s e n pi omega [u (omega + 1) - u ( omega - 1 )]
  2. F (omega) = (1)/(omega) (s e n 2 omega - s e n omega) + (j)/(omega) ( c o s 2 omega - c o s omega )

Passo 1

Legal pessoal, vamos lá! Em questões que usaremos Fourier sempre é interessante que você tenha a tabelinha de propriedades! A gente faz pois isso facilita muito o seu trabalho e ajuda a memorizar. Fechou? Então vamos pra cima!

Passo 2

Certo. Essa função que ele nos entrega é um tanto quanto grande, mas calma pessoal, vai ser bem tranquilo achar a inversa aqui! Primeiro, temos:

x (t) = 2 s e n pi t [u (t + 1) - u (t - 1)]

Do problema 17.9 (b),

X (omega) = (4 j pi s e n omega)/(pi^2 - omega^2)

Aplicando a propriedade da dualidade,

f (t) = (1)/(2 pi) X (- t) = (2 j s e n ( - t ))/(pi^2 - t^2)

Portanto,

f (t) = (2 j s e n (t))/(t^2 - pi^2)

Passo 3

Aqui no item b), temos:

F (omega) = (j)/(omega) (cos 2 omega - j s i n 2 omega) - (j)/(omega) ( c o s omega - j s i n omega )

= (j)/(omega) (e^(j 2 omega) - e^(- j omega)) = (e^(- j omega))/(j omega) - (e^(j 2 omega))/(j omega)

Passando isso para o domínio do tempo, temos:

f (t) = (1)/(2) s g n (t - 1) - (1)/(2) s g n ( t - 2 )

Mas o que acontece... o nosso s g n (t) = 2 u (t) - 1 ! Portanto,

f (t) = u (t - 1) - (1)/(2) - u (t - 2) + (1)/(2) = u (t - 1) - u ( t - 2 )

Resposta

a ) f (t) = (2 j s e n (t))/(t^2 - pi^2)

b ) f (t) = u (t - 1) - u ( t - 2 )

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