Para F (omega) = (1)/(3 + j omega) , determine J = int_(- oo)^(oo) f^2 (t) d t .

Passo 1

Então galera, vamos lá! Essa questão é sobre o Teorema de Parseval. Em matemática, Teorema de Parseval comumente se refere ao resultado que a transformada de Fourier é operador unitário. Isto se origina de um teorema de 1799 sobre séries matemáticas por Marc-Antoine Parseval, que foi aplicado posteriormente na série de Fourier. Ele basicamente nos diz que:

int_(- oo)^(oo) |x (t)|^2 d t = int_(- oo)^(oo) |X (2 pi omega)|^2 d omega

Passo 2

Esse teorema trata basicamente de conservação de energia! Aplicando ele para nosso problema, temos que:

J = 2 int_0^(oo) f^2 ( t ) d t = (1)/(pi) int_0^(oo) |F ( omega )|^2 d omega

= (1)/(pi) int_0^(oo) (1)/(9^2 + omega^2) d omega = ((1)/(3 pi) tan^(- 1) ((omega)/(3))|_0^(oo) = (1)/(3 pi) (pi)/(2) = ((1)/(6))

Resposta

J = ((1)/(6))

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