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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 52

Para F ω = 1 3 + j ω , determine J = ∫ - ∞ ∞ f 2 t d t .

Passo 1

Então galera, vamos lá! Essa questão é sobre o Teorema de Parseval. Em matemática, Teorema de Parseval comumente se refere ao resultado que a transformada de Fourier é operador unitário. Isto se origina de um teorema de 1799 sobre séries matemáticas por Marc-Antoine Parseval, que foi aplicado posteriormente na série de Fourier. Ele basicamente nos diz que:

∫ - ∞ ∞ x t 2 d t = ∫ - ∞ ∞ X 2 π ω 2 d ω

Passo 2

Esse teorema trata basicamente de conservação de energia! Aplicando ele para nosso problema, temos que:

J = 2 ∫ 0 ∞ f 2 ( t ) d t = 1 π ∫ 0 ∞ F ( ω ) 2 d ω

= 1 π ∫ 0 ∞ 1 9 2 + ω 2 d ω = 1 3 π tan - 1 ⁡ ω 3 0 ∞ = 1 3 π π 2 = 1 6

Resposta

J = 1 6

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