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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 31a

Determine f (t) para cada F (s) :

(10 s)/((s + 1) (s + 2) (s + 3))

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

(10 s)/((s + 1) (s + 2) (s + 3))

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

(A)/((s + 1)) + (B)/((s + 2)) + (C)/((s + 3))

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

(A)/((s + 1)) + (B)/((s + 2)) + (C)/((s + 3)) = (A (s + 2) (s + 3))/((s + 1) (s + 2) (s + 3)) + (B (s + 1) (s + 3))/((s + 1) (s + 2) (s + 3)) + (C (s + 1) (s + 2))/((s + 1) (s + 2) (s + 3)) =

(A (s + 2) (s + 3) + B (s + 1) (s + 3) + C (s + 1) (s + 2))/((s + 1) (s + 2) (s + 3))

Igualando e cancelando o denominador...

(10 s)/((s + 1) (s + 2) (s + 3)) = (A (s + 2) (s + 3) + B (s + 1) (s + 3) + C (s + 1) (s + 2))/((s + 1) (s + 2) (s + 3)) ->

A (s + 2) (s + 3) + B (s + 1) (s + 3) + C (s + 1) (s + 2) = 10 s

Resolvendo esses produtos aí...

A (s^2 + 3 s + 2 s + 6) + B (s^2 + 3 s + s + 3) + C (s^2 + 2 s + s + 2) = 10 s ->

A s^2 + 5 A s + 6 A + B s^2 + 4 B s + 3 B + C s^2 + 3 C s + 2 C = 10 s

Então organizando por s^2 , s e constante...

(A + B + C) s^2 + (5 A + 4 B + 3 C) s + (6 A + 3 B + 2 C) = 10 s ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s^2 e nem s do lado esquerdo...

A + B + C = 0

5 A + 4 B + 3 C = 1 0

6 A + 3 B + 2 C = 0

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = - B - C na segunda...

- 5 B - 5 C + 4 B + 3 C = 1 0 -> - B - 2 C = 1 0 ->

B = - 2 C - 10

Substituindo tudo na terceira...

6 A + 3 B + 2 C = 0 -> - 6 B - 6 C + 3 B + 2 C = 0 ->

12 C - 6 C - 6 C + 30 + 2 C = 0 ->

C = - 1 5

B = - 2 C - 10 = 2 0

A = - C - B = 1 5 - 2 0 = - 5

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

(10 s)/((s + 1) (s + 2) (s + 3)) = - 5 (1)/((s + 1)) + 2 0 (1)/((s + 2)) - 1 5 (1)/((s + 3))

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

- 5 L^(- 1) {(1)/((s + 1))} + 2 0 L^(- 1) {(1)/(s + 2)} - 1 5 L^(- 1) {(1)/(s + 3)}

Lembrando se de que:

L {e^(- c t) f (t)} = F (s + c)

E também que L {1} = 1 // s , Então...

L {e^(- c t)} = (1)/(s + c)

Ou seja, no nosso caso...

- 5 L^(- 1) {(1)/((s + 1))} + 2 0 L^(- 1) {(1)/(s + 2)} - 1 5 L^(- 1) {(1)/(s + 3)} =

- 5 e^(- t) + 2 0 e^(- 2 t) - 15 e^(- 3 t)

Resposta

- 5 e^(- t) + 20 e^(- 2 t) - 15 e^(- 3 t)

Ver Outros Exercícios desse livro