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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 31b

Determine f (t) para cada F (s) :

(2 s^2 + 4 s + 1)/((s + 1) (s + 2)^3)

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

(2 s^2 + 4 s + 1)/((s + 1) (s + 2)^3)

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

(A)/((s + 1)) + (B)/((s + 2)) + (C)/((s + 2)^2) + (D)/((s + 2)^3)

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

(A)/((s + 1)) + (B)/((s + 2)) + (C)/((s + 2)^2) + (D)/((s + 2)^3) =

(A (s + 2)^3 + B (s + 1) (s + 2)^2 + C (s + 1) (s + 2) + D (s + 1))/((s + 1) (s + 2)^3)

Igualando e cancelando o denominador...

(2 s^2 + 4 s + 1)/((s + 1) (s + 2)^3) = (A (s + 2)^3 + B (s + 1) (s + 2)^2 + C (s + 1) (s + 2) + D (s + 1))/((s + 1) (s + 2)^3) ->

A (s + 2)^3 + B (s + 1) (s + 2)^2 + C (s + 1) (s + 2) + D (s + 1) = 2 s^2 + 4 s + 1

Resolvendo esses produtos aí...

A (s^3 + 3 s^2 * 2 + 3 s * 2^2 + 2^3) + B (s + 1) (s^2 + 4 s + 4) + C (s^2 + 2 s + s + 2) + D (s + 1) = 2 s^2 + 4 s + 1 ->

A (s^3 + 6 s^2 + 12 s + 2^3) + B (s^3 + 4 s^2 + 4 s + s^2 + 4 s + 4) + C (s^2 + 3 s + 2) + D (s + 1) = 2 s^2 + 4 s + 1 ->

Simplificando...

A (s^3 + 6 s^2 + 12 s + 8) + B (s^3 + 5 s^2 + 8 s + 4) + C (s^2 + 3 s + 2) + D (s + 1) = 2 s^2 + 4 s + 1 ->

A s^3 + 6 A s^2 + 12 A s + 8 A + B s^3 + 5 B s^2 + 8 B s + 4 B + C s^2 + 3 C s + 2 C + D s + D = 2 s^2 + 4 s + 1 ->

Então organizando por s^3 , s^2 , s e constante...

(A + B) s^3 + (6 A + 5 B + C) s^2 + (12 A + 8 B + 3 C + D) s + (8 A + 4 B + 2 C + D) = 2 s^2 + 4 s + 1 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s^3 do lado esquerdo...

A + B = 0

6 A + 5 B + C = 2

12 A + 8 B + 3 C + D = 4

8 A + 4 B + 2 C + D = 1

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = - B na segunda...

- 6 B + 5 B + C = 2 -> - B + C = 2 ->

C = 2 + B

Substituindo tudo na terceira...

12 A + 8 B + 3 C + D = 4 -> - 12 B + 8 B + 6 + 3 B + D = 4 ->

- B + 6 + D = 4 -> D = - 2 + B

Substituindo tudo agora na última...

8 A + 4 B + 2 C + D = 1 -> - 8 B + 4 B + 4 + 2 B - 2 + B = 1

B = 1

Então...

A = - 1 , C = 3 e D = - 1

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

(2 s^2 + 4 s + 1)/((s + 1) (s + 2)^3) = - (1)/((s + 1)) + (1)/((s + 2)) + 3 (1)/((s + 2)^2) - (1)/((s + 2)^3)

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L^(- 1) {J (s)} = - L^(- 1) {(1)/((s + 1))} + L^(- 1) {(1)/(s + 2)} + 3 L^(- 1) {(1)/((s + 2)^2)} - L^(- 1) {(1)/((s + 2)^3)}

Lembrando se de que:

L {e^(- c t) f (t)} = F (s + c)

E também que L {1} = 1 // s , L {t} = 1 // s^2 e L {t^2} = 2 // s^3 . Então...

L {e^(- c t)} = (1)/(s + c) e L {e^(- c t) t} = (1)/((s + c)^2) e L {e^(- c t) t^2} = (2)/((s + c)^3)

Ou seja, no nosso caso...

L^(- 1) {J (s)} = - L^(- 1) {(1)/((s + 1))} + L^(- 1) {(1)/(s + 2)} + 3 L^(- 1) {(1)/((s + 2)^2)} - L^(- 1) {(1)/((s + 2)^3)} =

- e^(- t) + e^(- 2 t) + 3 e^(- 2 t) t - (e^(- 2 t) t^2)/(2)

Resposta

- e^(- t) + e^(- 2 t) + 3 e^(- 2 t) t - (e^(- 2 t) t^2)/(2)

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