Determine y (t) = x (t) * h ( t ) para cada par na figura:

a)

b)

c)

Passo 1

a) Vamos “deslizar” o gráfico de x ( t ) sobre o gráfico de h ( t ) e calcular a integral de convolução para cada intervalo em que os gráficos são sobrepostos ok?

Para t < 0 , não há sobreposição dos gráficos, portanto, y (t) = 0

Para 0 < t < 1 , há sobreposição dos gráficos entre 0 e t ' , sendo que nesse intervalo, x (t) = 1 e h (t) = t (pois nesse intervalo temos uma reta crescente do tipo y = x ).

Então:

y (t) = int_0^(t ') 1 . t d t

y (t) = (t^2)/(2)

Passo 2

Para o intervalo 1 < t < 2 , a sobreposição dos gráficos é dada de modo que as integrais de convolução são:

y (t) = int_(t^' - 1)^1 1 . t d t + int_1^t 1 . 1 d t

Observe que entre t^' - 1 e 1 , a sobreposição é com x (t) = 1 e h (t) = t , enquanto de 1 até t , temos ambas as funções iguais a 1 . Então, resolvendo as integrais:

y (t) = - (t^2)/(2) + 2 t - 1

Já para t > 2 , os gráficos se sobrepõem de t^' - 1 até t ' , quando as duas funções valem 1:

y (t) = int_(t^' - 1)^t 1.1 d t

y (t) = 1

Portanto:

y (t) = {[[(t^2)/(2) , 0 < t < 1],[- (t^2)/(2) + 2 t - 1 , 1 < t < 2],[1 , t > 2],[0 , c a s o c o n t r á r i o]])

Passo 3

b) Para o intervalo t < 0 , não há sobreposição dos gráficos, então, y (t) = 0 nesse intervalo.

Para t > 0 , os gráficos se sobrepõem de 0 até t ' , com x (t) = 1 e h (t) = 2 e^(- t) :

y (t) = int_0^(t ') 1 . 2 e^(- t) d t

y (t) = 2 - 2 e^(- t) , t > 0

Passo 4

c) Mais uma vez vamos deslizar o gráfico de x ( t ) sobre o gráfico de h ( t ) e calcular a integral de convolução para vários intervalos ok?

Para t < 0 , não há sobreposição dos gráficos, então, y (t) = 0 .

Para - 1 < t < 0 :

y (t) = int_0^(t^' + 1) 1 . t d t

y (t) = ((t + 1)^2)/(2)

Para 0 < t < 1 :

y (t) = int_0^1 1 . t d t + int_1^(t ' + 1) 1 . ( - t + 2 ) d t

Lembrando que de 1 até t^' + 1 , h ( t ) é uma reta decrescente do tipo y = - x + 2

y (t) = - (t^2)/(2) + t + (1)/(2)

Para 1 < t < 2 :

y (t) = int_(t^' - 1)^1 1 . t d t + int_1^2 1 . ( - t + 2 ) d t

y (t) = - (t^2)/(2) + t + (1)/(2)

Por fim, para 2 < t < 3 :

y (t) = int_(t^' - 1)^2 1 . ( - t + 2 ) d t

y (t) = (t^2)/(2) - 3 t + (9)/(2)

Então:

y (t) = {[[((t + 1)^2)/(2) , - 1 < t < 0],[- (t^2)/(2) + t + (1)/(2) , 0 < t < 2],[(t^2)/(2) - 3 t + (9)/(2) , 2 < t < 3],[0 , c a s o c o n t r á r i o]])

Resposta

a)

y (t) = {[[(t^2)/(2) , 0 < t < 1],[- (t^2)/(2) + 2 t - 1 , 1 < t < 2],[1 , t > 2],[0 , c a s o c o n t r á r i o]])

b) y (t) = 2 - 2 e^(- t) , t > 0

c) y (t) = {[[((t + 1)^2)/(2) , - 1 < t < 0],[- (t^2)/(2) + t + (1)/(2) , 0 < t < 2],[(t^2)/(2) - 3 t + (9)/(2) , 2 < t < 3],[0 , c a s o c o n t r á r i o]])

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