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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 34c

Determine as funções temporais que possuem as seguintes transformadas de Laplace:

s + 1 e - 2 s s s + 3 s + 4

Passo 1

Bem, se considerarmos...

s + 1 e - 2 s s s + 3 s + 4 = e - 2 s s + 1 s s + 3 s + 4

Perceba que podemos separar o termo do colchete em frações parciais:

A s + B s + 3 + C s + 4

Vamos nessa?

Passo 2

A s + B s + 3 + C s + 4 = A s + 3 s + 4 + B s s + 4 + C s s + 3 s s + 3 s + 4

Igualando a fração dos colchetes...

A s + 3 s + 4 + B s s + 4 + C s s + 3 s s + 3 s + 4 = s + 1 s s + 3 s + 4

Cancelando o denominador e simplificando...

A s + 3 s + 4 + B s s + 4 + C s s + 3 = s + 1   →

A s 2 + 7 s + 12 + B s 2 + 4 B s + C s 2 + 3 C s = s + 1     →

A s 2 + 7 A s + 12 A + B s 2 + 4 B s + C s 2 + 3 C s = s + 1     →

A + B + C s 2 + 7 A + 4 B + 3 C s + 12 A = s + 1

Então...

A + B + C = 0

7 A + 4 B + 3 C = 1

12 A = 1     →         A = 1 12

Ou seja, substituindo na primeira equação...

B = - C - 1 12                     →

7 12 - 4 C - 4 12 + 3 C = 1   →

- C = 1 - 1 4                 →         C = - 3 4

E então B = 3 4 - 1 12 = 2 3 onde podemos concluir que

s + 1 e - 2 s s s + 3 s + 4 = e - 2 s s + 1 s s + 3 s + 4 =

e - 2 s 1 12 ⋅ 1 s + 2 3 ⋅ 1 s + 3 - 3 4 ⋅ 1 s + 4

Passo 3

De acordo com a teoria...

L - 1 e - c s F s = f t - c u c t

Se considerarmos...

F s = 1 12 ⋅ 1 s + 2 3 ⋅ 1 s + 3 - 3 4 ⋅ 1 s + 4     →

f t = 1 12 + 1 3 e - 3 t - 3 4 e - 4 t

Considerando então c = 2 ...

L - 1 e - 2 s F s = 1 12 + 1 3 e - 3 t - 2 - 3 4 e - 4 t - 2 u 2 t

Resposta

1 12 + 1 3 e - 3 t - 2 - 3 4 e - 4 t - 2 u 2 t

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