Obtenha f (t) para as transformadas a seguir:

(s e^(- s))/((s + 3) (s^2 + 4))

Passo 1

Bem, se considerarmos...

(s e^(- s))/((s + 3) (s^2 + 4)) = e^(- s) [(s)/((s + 3) (s^2 + 4))]

Perceba que podemos separar o termo do colchete em frações parciais:

(A)/(s + 3) + (B s + C)/(s^2 + 4)

Vamos nessa?

Passo 2

(A)/(s + 3) + (B s + C)/(s^2 + 4) = (A (s^2 + 4) + (B s + C) (s + 3))/((s + 3) (s^2 + 4))

Igualando a fração dos colchetes...

(A (s^2 + 4) + (B s + C) (s + 3))/((s + 3) (s^2 + 4)) = (s)/((s + 3) (s^2 + 4))

Cancelando o denominador e simplificando...

A (s^2 + 4) + (B s + C) (s + 3) = s ->

A s^2 + 4 A + B s^2 + 3 B s + C s + 3 C = s ->

(A + B) s^2 + (3 B + C) s + (4 A + 3 C) = s ->

Então...

A + B = 0

3 B + C = 1

4 A + 3 C = 0

Onde tiramos que...

A = - B e C = 1 - 3 B -> - 4 B + 3 - 9 B = 0 ->

B = (3)/(13)

Logo

A = - (3)/(13) e C = 1 - (9)/(13) = (4)/(13)

Onde podemos concluir que

(s e^(- s))/((s + 3) (s^2 + 4)) = e^(- s) [(s)/((s + 3) (s^2 + 4))] =

e^(- s) [- (3)/(13) * (1)/(s + 3) + ((3)/(13) s + (4)/(13))/(s^2 + 4)] =

Separando isso aí...

e^(- s) [- (3)/(13) * (1)/(s + 3) + (3)/(13) * (s)/(s^2 + 4) + (2)/(13) * (2)/(s^2 + 4)]

Passo 3

De acordo com a teoria...

L^(- 1) {e^(- c s) F (s)} = f (t - c) u_c (t)

Se considerarmos...

F (s) = [- (3)/(13) * (1)/(s + 3) + (3)/(13) * (s)/(s^2 + 4) + (2)/(13) * (2)/(s^2 + 4)] ->

f (t) = - (3)/(13) e^(- 3 t) + (3)/(13) cos (2 t) + (2)/(13) sin (2 t)

Considerando então c = 1 ...

L^(- 1) {e^(- s) F (s)} = [(3)/(13) e^(- 3 (t - 1)) + (3)/(13) cos (2 (t - 1)) + (2)/(13) sin (2 (t - 1))] u_1 (t)

Resposta

[(3)/(13) e^(- 3 (t - 1)) + (3)/(13) cos (2 (t - 1)) + (2)/(13) sin (2 (t - 1))] u_1 (t)

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