Determine f ( t ) , se:

a) F (s) = (2 s^3 + 4 s^2 + 1)/(( s^2 + 2 s + 17 ) ( s^2 + 4 s + 20 ))

b) F (s) = (s^2 + 4)/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 6 s + 3 ))

Passo 1

a) Para encontrarmos a transformada inversa de Laplace, primeiro vamos separar o que temos em frações parciais, pois temos termos sendo multiplicados no denominador, assim:

(2 s^3 + 4 s^2 + 1)/(( s^2 + 2 s + 17 ) ( s^2 + 4 s + 20 )) = (A s + B)/(( s^2 + 2 s + 17 )) + (C s + D)/(( s^2 + 4 s + 20 ))

Lembrando que quando o denominador tem grau 2, o numerador deve ter grau 1 ;)

Para encontrarmos A , B , C e D , primeiro vamos somar as duas frações fazendo o MMC dos denominadores:

(2 s^3 + 4 s^2 + 1)/(( s^2 + 2 s + 17 ) ( s^2 + 4 s + 20 )) = ((A s + B) (s^2 + 4 s + 20) + ( C s + D ) ( s^2 + 2 s + 17 ))/(( s^2 + 2 s + 17 ) ( s^2 + 4 s + 20 ))

Opa, dos dois lados temos o mesmo denominador, então vamos cortar:

2 s^3 + 4 s^2 + 1 = (A s + B) (s^2 + 4 s + 20) + ( C s + D ) ( s^2 + 2 s + 17 )

2 s^3 + 4 s^2 + 1 = A s^3 + 4 A s^2 + 20 A s + B s^2 + 4 B s + 20 B + C s^3 + 2 C s^2 + 17 C s + D s^2 + 2 D s + 17 D

Agrupando os termos:

2 s^3 + 4 s^2 + 1 = (A + C) s^3 + (4 A + B + 2 C + D) s^2 + (20 A + 4 B + 17 C + 2 D) s + 20 B + 17 D

Passo 2

Agora é o seguinte: como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que ta multiplicando s ³ no lado esquerdo com o lado direito e depois fazer o mesmo para s ² , s e os termos independentes. Isso vai nos dar o sistema:

{[[A + C = 2],[4 A + B + 2 C + D = 4],[20 A + 4 B + 17 C + 2 D = 0],[20 B + 17 D = 1]])

Resolvendo esse sistema, temos

A = - 1.6

B = - 17.8

C = 3.6

D = 21

Então:

(2 s^3 + 4 s^2 + 1)/(( s^2 + 2 s + 17 ) ( s^2 + 4 s + 20 )) = (- 1.6 s - 17.8)/(( s^2 + 2 s + 17 )) + (3.6 s + 21)/(( s^2 + 4 s + 20 ))

Passo 3

Vamos mexer na expressão para encontrarmos algo parecido com o modelo (s - a)/((s - a)^2 + b ²) da tabela:

F (s) = (- 1.6 s - 1.6 - 16.2)/(s^2 + 2 s + 1 + 16) + (3.6 s + 7.2 + 13.8)/(s^2 + 4 s + 4 + 20)

Obs:

- 1.6 - 16.2 = - 17 . 8

7.2 + 13.8 = 2 1

Continuando:

F (s) = (- 1.6 (s + 1) - 16.2)/((s + 1)^2 + 4 ²) + (3.6 ( s + 2 ) + 13.8)/((s + 2)^2 + 4 ²)

Separando em mais duas frações:

F (s) = (- 1.6 (s + 1))/((s + 1)^2 + 4 ²) + (- 16.2)/((s + 1)^2 + 4 ²) + (3.6 ( s + 2 ))/((s + 2)^2 + 4 ²) + (13.8)/((s + 2)^2 + 4 ²)

Vamos dividir o numerador dessas frações novas por 4, para chegarmos ao modelo (a)/((s - a) + a ²)

F (s) = (- 1.6 (s + 1))/((s + 1)^2 + 4 ²) + ((- 4.05) . 4)/((s + 1)^2 + 4 ²) + (3.6 ( s + 2 ))/((s + 2)^2 + 4 ²) + (3,45.4)/((s + 2)^2 + 4 ²)

Agora simm, podemos usar a tabela e encontrar nossa transformada inversa:

f (t) = - 1.6 e^(- t) . cos 4 t - 4.05 e^(- t) . s e n 4 t + 3.6 e^(- 2 t) . cos 4 t + 3.45 e^(- 2 t) . s e n 4 t

Passo 4

b) Usando frações parciais:

(s^2 + 4)/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 6 s + 3 )) = (A s + B)/(s^2 + 9) + (C s + D)/(s^2 + 6 s + 3)

Vamos somar as duas frações:

(s^2 + 4)/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 6 s + 3 )) = ((A s + B) (s^2 + 6 s + 3) + ( C s + D ) ( s^2 + 9 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 6 s + 3 ))

s^2 + 4 = (A s + B) (s^2 + 6 s + 3) + ( C s + D ) ( s^2 + 9 )

s^2 + 4 = (A + C) s^3 + (6 A + B + D) s^2 + (3 A + 6 B + 9 C) s + 3 B + 9 D

Passo 5

Vamos agora igualar os termos do lado esquerdo e direito, obtendo o sistema:

{[[A + C = 0],[6 A + B + D = 1],[3 A + 6 B + 9 C = 0],[3 B + 9 D = 4]])

Resolvendo esse sistema, vamos ter

A = (1)/(12)

B = (1)/(12)

C = - (1)/(12)

D = (5)/(12)

Então:

F ( s ) = ((1)/(12) s + (1)/(12))/(s^2 + 9) + (- (1)/(12) s + (5)/(12))/(s^2 + 6 s + 3)

Passo 6

Escrevendo (- (1)/(12) s + (5)/(12))/(s^2 + 6 s + 3) em frações parciais

Vamos encontrar as raízes de s^2 + 6 s + 3 :

s = (- 6 +- sqrt(36 - 12))/(2)

s 1 = - 0.551 s 2 = - 5.449

Então, podemos escrever (- (1)/(12) s + (5)/(12))/(s^2 + 6 s + 3) assim:

(- (1)/(12) s + (5)/(12))/(( s + 0.551 ) ( s + 5.449 ))

Agora, vamos fazer frações parciais nessa expressão também ok?

(- (1)/(12) s + (5)/(12))/(( s + 0.551 ) ( s + 5.449 )) = (E)/(s + 0.551) + (F)/(s + 5.449)

(- (1)/(12) s + (5)/(12))/(( s + 0.551 ) ( s + 5.449 )) = (E (s + 5.449) + F ( s + 0.551 ))/(( s + 0.551 ) ( s + 5.449 ))

- (1)/(12) s + (5)/(12) = E (s + 5.449) + F ( s + 0.551 )

Para s 1 = - 0.551 , temos:

- (1)/(12) ( - 0.551 ) + (5)/(12) = E (- 0.551 + 5.449)

E = 0.0944

E para s 2 = - 5.449 :

- (1)/(12) ( - 5.449 ) + (5)/(12) = F ( - 5.449 + 0.551 )

F = 0.177

Então:

(- (1)/(12) s + (5)/(12))/(( s + 0.551 ) ( s + 5.449 )) = (- (1)/(12) s + (5)/(12))/(s^2 + 6 s + 3) = (0.0944)/(s + 0.551) + (0.177)/(s + 5.449)

Não precisa se assustar não viu? Só fizemos esse passo 6 pra encontrarmos uma maneira de escrever (- (1)/(12) s + (5)/(12))/(s^2 + 6 s + 3) em algum modelo da tabela de transformadas inversas hahaha :D

Passo 7

Substituindo o que encontramos no passo anterior lá na nossa expressão do passo 5:

F ( s ) = ((1)/(12) s + (1)/(12))/(s^2 + 9) + (0.0944)/(s + 0.551) + (0.177)/(s + 5.449)

Vamos separar a primeira fração em duas e multiplicar a segunda por 3 em cima e embaixo para chegarmos ao modelo (a)/(s^2 + a ²) da tabela

F (s) = (1)/(12) (s)/(s^2 + 3 ²) + (1)/(36) (3)/(s^2 + 3 ²) + 0.0944 (1)/(s + 0.551) + 0.177 (1)/(s + 5.449)

Agora simmm, as 4 frações estão em algum modelo de transformada que conhecemos a inversa, logo:

f (t) = (1)/(12) cos ( 3 t ) + (1)/(36) s e n 3 t + 0.0944 e^(- 0.551 t) + 0.177 e^(- 5.449 t)

Resposta

a) f (t) = - 1.6 e^(- t) . cos 4 t - 4.05 e^(- t) . s e n 4 t + 3.6 e^(- 2 t) . cos 4 t + 3.45 e^(- 2 t) . s e n 4 t

b) f (t) = (1)/(12) cos ( 3 t ) + (1)/(36) s e n 3 t + 0.0944 e^(- 0.551 t) + 0.177 e^(- 5.449 t)

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