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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 53

Determine a série de Fourier complexa para   f t = e - t e 0 < t < 1 , com f t + n = f t   para todos os valores inteiros de n.

Passo 1

De acordo com o nosso amigo Fourier exponencial, podemos obter c n (coeficientes da série de Fourier) através da integral:

c n = 1 T ∫ - T / 2 T / 2 f t e - j ω 0 n t   d t

No nosso caso, temos uma função de período T = 1 , ou seja...

ω 0 = 2 π 1 = 2 π

Substituindo então no c n ...

c n = 1 1 ∫ 0 1 e - t e - j n 2 π t d t   →

c n = ∫ 0 1 e - j n 2 π t - t d t =

c n = ∫ 0 1 e - j n 2 π - 1 t d t

Podemos calcular essa integral! Bora?

Passo 2

Lembrando-se de que a integral de uma exponencial como esta é dada por:

∫     e a t d t = e a t a

Então no nosso caso...

c n = ∫ 0 1 e - j n 2 π - 1 t d t = e - j n 2 π - 1 t - j n 2 π - 1 0 1 =

Substituindo-se os limites de integração...

e - j n 2 π - 1 - j n 2 π - 1 - e 0 - j n 2 π - 1 =

e - j n 2 π - 1 - 1 - j n 2 π - 1 =

- e - j n 2 π - 1 - 1 j n 2 π + 1

Perceba então que essa exponencial pode ser separada e duas:

c n = - e - j n 2 π e - 1 - 1 j n 2 π + 1

E que e - j n 2 π é igual a cos ⁡ 2 π n - j sin ⁡ 2 π n pela relação de Euler:

c n = - cos ⁡ 2 π n - j sin ⁡ 2 π n e - 1 - 1 j n 2 π + 1

MAS! sin ⁡ 2 π n = 0 e cos ⁡ 2 π n = 1 sempre, já que os ângulos são sempre múltiplos de 2 π , ou seja:

c n = - e - 1 - 1 j n 2 π + 1 =

0,6321 j 2 n π + 1  

Passo 3

Ta aí! Os nosso coeficientes. De acordo com Fourier podemos então representar f assim:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ c n e j ω 0 n t =

∑ n = - ∞ ∞ 0,6321 j 2 n π + 1 e j ω 0 n t

Resposta

f t = ∑ n = - ∞ ∞ 0,6321 j 2 n π + 1 e j ω 0 n t

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