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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 51

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como determinar a série de Fourier exponencial de uma determinada função periódica.

Passo 1

Existe muitas formas de resolver esse item, mas eusinho, Responde aí, acho que a melhor forma é te fazendo lembrar das formulas que envolvem a série de Fourier exponencial :

PROBLEMA: Determine a série de Fourier em exponencial da função f t = - t   onde - 1 < t < 1 . A função é periódica de período 2 .

Bora então?

Passo 2

De acordo com o nosso amigo Fourier exponencial, podemos obter c n (coeficientes da série de Fourier) através da integral:

c n = 1 T ∫ - T / 2 T / 2 f t e - j ω 0 n t   d t

No nosso caso, temos uma função de período T = 2 , ou seja...

ω 0 = 2 π T = π

Substituindo então no c n ...

c n = 1 2 ∫ - 1 1 - t e - j n π t d t   →

c n = - 1 2 ∫ - 1 1 t e - j n π t d t

Podemos calcular essa integral aí por partes!

Passo 3

Escolhendo-se u e d v como...

u = t             e                     d v = e j n π t d t

E obtendo d u e v derivando e integrando respectivamente...

d u = d t             e                     v = - e - j n π t j n π

Logo, pela regra de integração por partes...

∫     t e - j n π t d t = - t e - j n π t j n π - ∫     - e - j n π t j n π d t   →

∫     t e - j n π t d t = - t e - j n π t j n π + 1 j n π ∫     e - j n π t d t   →

Integrando novamente essa exponencial (a mesma tarefa de encontrar v )...

∫     t e - j n π t d t = - t e - j n π t j n π - e - j n π t j n π 2

Lembre-se: j 2 = - 1 ...

∫     t e - j n π t d t = - t e - j n π t j n π + e - j n π t n 2 π 2

Passo 4

Concluída a integração por partes, podemos voltar ao problema de encontrar c n :

c n = - 1 2 ∫ - 1 1 t e - j n π t d t = - 1 2 - t e - j n π t j n π + e - j n π t n 2 π 2 - 1 1 =

Substituindo os limites:

- 1 2 - e - j n π j n π + e - j n π n 2 π 2 - e j n π j n π + e j n π n 2 π 2 =

E simplificando...

- 1 2 - e - j n π j n π + e - j n π n 2 π 2 - e j n π j n π - e j n π n 2 π 2 =

- 1 2 - 1 j n π e - j n π + e j n π + 1 n 2 π 2 e - j n π - e j n π =

Veja que e - j n π + e j n π = cos ⁡ 2 n e e - j n π - e j n π = sin ⁡ n π ...

- 1 2 - 1 j n π cos ⁡ n π + 1 n 2 π 2 sin ⁡ n π =

Como sin ⁡ n π = 0 sempre!...

cos ⁡ n π 2 j n π

Lembrando que 1 / j = - j e que cos ⁡ n π = - 1 n ...

c n = - j - 1 n 2 n π =

j - 1 n + 1 2 n π

Ta aí! Os nosso coeficientes. De acordo com Fourier podemos então representar f assim:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ c n e j ω 0 n t =

∑ n = - ∞ ∞ j - 1 n + 1 2 n π e j ω 0 n t

Resposta

f t = ∑ n = - ∞ ∞ j - 1 n + 1 2 n π e j ω 0 n t

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