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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 58

Determine a série de Fourier exponencial de uma função que possui os seguintes coeficientes de série de Fourier trigonométrica:

a 0 = π 4 ,     b n = - 1 n n ,     a n = - 1 n - 1 π n 2

Adote T = 2 π .

Passo 1

Através dos coeficientes de uma série de Fourier exponencial podem ser expressos como:

c 0 = a 0

c n = a n - j b n 2

c - n = c n * = a n + j b n 2

Assim, podemos escrever a série de Fourier:

f t = c 0 + ∑ n = 1 ∞ ( c n e j n ω 0 t + c - n - j n ω 0 t )

Passo 2

Vamos calcular cada um dos coeficientes agora:

c 0 = a 0

c 0 = π 4

c n = a n - j b n 2

c n = - 1 n - 1 2 π n 2 - j - 1 n 2 n

c n * = a n + j b n 2

c n * = - 1 n - 1 2 π n 2 + j - 1 n 2 n

Aqui, podemos fazer uma mudança de elementos:

cos ⁡ ( n π ) = - 1 n

Assim, a série de Fourier da função é:

f t = π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 π n 2 - j - 1 n 2 n e j n t + - 1 n - 1 2 π n 2 + j - 1 n 2 n e - j n t

f t = π 4 + ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π - 1 2 π n 2 - j cos ⁡ n π 2 n e j n t + cos ⁡ n π - 1 2 π n 2 + j cos ⁡ n π 2 n e - j n t

Resposta

A série é igual a:

f t = π 4 + ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π - 1 2 π n 2 - j cos ⁡ n π 2 n e j n t + cos ⁡ n π - 1 2 π n 2 + j cos ⁡ n π 2 n e - j n t

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