Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 2

Determine a transformada de Laplace de:

  1. cos ⁡ ω t + θ
  2. sen ⁡ ω t + θ

Passo 1

Antes de sair buscando as transformadas de Laplace desse seno e cosseno como pedido, vamos já lembrando de que nós apenas conhecemos a transformada desse seno e cosseno aqui:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

E

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então seria interessante a gente transformar aquele cosseno e seno da soma em forma que aparece um único argumento neles. Como podemos fazer isso? SIM! Lembrando-se da trigonometria! Então venha comigo!

Passo 2

L e t r a   A :

O cosseno da soma, se você não se recorda, é assim veja:

cos ⁡ x + y = cos ⁡ x cos ⁡ y - sin ⁡ x sin ⁡ y

Lembrou? Então, no nosso caso...

cos ⁡ ω t + θ = cos ⁡ ω t cos ⁡ θ - sin ⁡ ω t sin ⁡ θ

Perceba que apareceu o cosseno e o seno do jeito que a gente quer! Agora é só aplicar Laplace em todo mundo:

L cos ⁡ ω t + θ = L cos ⁡ ω t cos ⁡ θ - sin ⁡ ω t sin ⁡ θ     →

L cos ⁡ ω t + θ = L cos ⁡ ω t cos ⁡ θ - L sin ⁡ ω t sin ⁡ θ

Os que possuem θ não possuem a variável t , o que significa que eles são constantes! Isso mesmo! Como - 1 ou 3 . Logo, eles podem sair da transformada:

L cos ⁡ ω t + θ = cos ⁡ θ L cos ⁡ ω t - sin ⁡ θ L sin ⁡ ω t

Então, aplicando a Laplace do cosseno e seno:

L cos ⁡ ω t + θ = cos ⁡ θ s s 2 + ω 2 - sin ⁡ θ ω s 2 + ω 2   →

L cos ⁡ ω t + θ = s cos ⁡ θ - ω sin ⁡ θ s 2 + ω 2

Passo 3

L e t r a   B :

Lembrando-se da fórmula para o seno da soma agora...

sen ⁡ x + y = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y

Logo...

sen ⁡ ω t + θ = sin ⁡ ω t cos ⁡ θ + cos ⁡ ω t sin ⁡ θ

Aplicando novamente Laplace...

L sen ⁡ ω t + θ = cos ⁡ θ L sin ⁡ ω t + sin ⁡ θ L cos ⁡ ω t   →

L sen ⁡ ω t + θ = cos ⁡ θ ω s 2 + ω 2 + sin ⁡ θ s s 2 + ω 2   →

L cos ⁡ ω t + θ = s sin ⁡ θ + ω cos ⁡ θ s 2 + ω 2

Resposta

L cos ⁡ ω t + θ = s sin ⁡ θ + ω cos ⁡ θ s 2 + ω 2                     e

L cos ⁡ ω t + θ = s cos ⁡ θ - ω sin ⁡ θ s 2 + ω 2                        

Ver Outros Exercícios desse livro