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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 8c

Determine a Transformada de Laplace F (s) , dado que f (t) é:

  1. 2 t u (t - 4)
  2. 5 cos (t) delta (t - 2)
  3. e^(- t) u (t - tau)
  4. sin (2 t) u (t - tau)

Passo 1

Ora, de acordo com a teoria, podemos encontrar a Laplace de funções com o produto pela função degrau dessa maneira aqui:

L {f (t - a) u (t - a)} = e^(- a s) L {f (t)}

Então, como queremos a Laplace de...

L {e^(- t) u (t - tau)}

Precisamos encontrar quem é f (t) e f (t - a) e aplicar Laplace nela! Bora?

Passo 2

Bem, a função f (t) vai ser sempre a função que multiplica o degrau:

e^(- t) u (t - tau) -> f (t) = e^(- t)

Bem, no nosso caso a = tau pelo degrau que temos, então, basta trocar t por t - tau para determinar f (t - tau) :

f (t - tau) = e^(- (t - tau)) =

e^(- t) e^(tau)

Bem, então aplicando a teoria...

L {f (t - a) u (t - a)} = e^(- a s) L {f (t)} ->

L {f (t - tau) u (t - tau)} = e^(- tau s) L {f (t)} ->

L {e^(- t) e^(tau) u (t - tau)} = e^(- tau s) L {e^(- t)} ->

A transformada de L {e^(- t)} é...

L {e^(- t) e^(tau) u (t - tau)} = e^(- tau s) (1)/(s + 1) ->

L {e^(- t) e^(tau) u (t - tau)} = (e^(- tau s))/(s + 1) ->

Beleza, mas não é bem essa Laplace que queremos encontrar e sim estamos buscando...

L {e^(- t) u (t - tau)}

Então venha comigo!

Passo 3

Perceba que e^(tau) é apenas um número, uma constante que a gente não conhece, mas é uma constante como outra qualquer (como o número 2 ou 15 ), logo ele pode sair da Laplace:

L {e^(- t) e^(tau) u (t - tau)} = (e^(- tau s))/(s + 1) ->

e^(tau) L {e^(- t) u (t - tau)} = (e^(- tau s))/(s + 1) ->

Passando ele dividindo...

L {e^(- t) u (t - tau)} = (e^(- tau s))/((s + 1) e^(tau)) ->

L {e^(- t) u (t - tau)} = (e^(- tau s - tau))/((s + 1))

Resposta

L {e^(- t) u (t - tau)} = (e^(- tau s - tau))/((s + 1))

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