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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 1

Determine a transformada de Laplace de:

  1. cosh a t
  2. senh a t

Sugestão:

cosh x = (1)/(2) (e^x + e^(- x))

senh x = (1)/(2) (e^x - e^(- x))

Passo 1

L e t r a A )

Beleza, vamos usar a sugestão do problema, mas trocando o argumento x por a t :

cosh a t = (1)/(2) (e^(a t) + e^(- a t))

Agora, podemos aplicar a transformada de Laplace:

L {cosh a t} = L {(1)/(2) (e^(a t) + e^(- a t))} ->

Como a transformada é linear, podemos separar dessa forma aqui:

L {cosh a t} = (1)/(2) (L {e^(a t)} + L {e^(- a t)})

Lembrando-se de que a transformada da exponencial é...

L {e^(a t)} = (1)/(s - a)

L {e^(- a t)} = (1)/(s + a)

Então concluímos que...

L {cosh a t} = (1)/(2) (L {e^(a t)} + L {e^(- a t)}) ->

L {cosh a t} = (1)/(2) ((1)/(s - a) + (1)/(s + a))

Juntando essas frações em uma só colocando usando o mesmo denominador comum (basta multiplicar e dividir pelo termo que falta):

L {cosh a t} = (1)/(2) ((s + a)/((s - a) (s + a)) + (s - a)/((s - a) (s + a))) ->

L {cosh a t} = (1)/(2) ((s + a + s - a)/((s - a) (s + a))) ->

L {cosh a t} = (1)/(2) ((2 s)/(s^2 - a^2)) ->

L {cosh a t} = ((s)/(s^2 - a^2))

Passo 2

L e t r a B :

Poxa, aqui vamos ter continhas bem semelhantes:

senh a t = (1)/(2) (e^(a t) - e^(- a t)) ->

L {senh a t} = (1)/(2) (L {e^(a t)} - L {e^(- a t)})

A única diference é que agora tem um menos ali ao invés de mais! As continhas vai ser basicamente as mesmas:

L {senh a t} = (1)/(2) ((1)/(s - a) - (1)/(s + a)) ->

L {senh a t} = (1)/(2) ((s + a)/((s - a) (s + a)) - (s - a)/((s - a) (s + a))) ->

L {senh a t} = (1)/(2) ((s + a)/((s - a) (s + a)) - (s - a)/((s - a) (s + a))) ->

A única diferença vem agora:

L {senh a t} = (1)/(2) ((s + a - s + a)/((s - a) (s + a))) ->

L {senh a t} = (1)/(2) ((2 a)/(s^2 - a^2)) ->

L {senh a t} = (a)/(s^2 - a^2)

Por causa do menos quem sobra no nominador é o a (bem parecido com seno mesmo) !

Resposta

L {senh a t} = (a)/(s^2 - a^2) e L {cosh a t} = (s)/(s^2 - a^2)

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