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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 8d

Determine a Transformada de Laplace F (s) , dado que f (t) é:

sin (2 t) u (t - tau)

Passo 1

Pois bem, se a gente adicionar 2 tau e subtrair 2 tau do seno...

sin (2 t) = sin (2 t - 2 tau + 2 tau) = sin (2 (t - tau) + 2 tau)

Fazer isso é legal porque agora podemos lembrar que o seno da soma tem uma formulinha na trigonometria:

sin (x + y) = sin (x) cos (y) + sin (y) cos (x)

Então...

sin (2 (t - tau) + 2 tau) = sin (2 (t - tau)) cos (2 tau) + sin (2 tau) cos (2 (t - tau))

Logo, se queremos calcular L {sin (2 t) u (t - tau)} , podemos substituir por...

L {sin (2 (t - tau) + 2 tau) u (t - tau)} =

L {[sin (2 (t - tau)) cos (2 tau) + sin (2 tau) cos (2 (t - tau))] u (t - tau)} =

L {sin (2 (t - tau)) cos (2 tau) u (t - tau) + sin (2 tau) cos (2 (t - tau)) u (t - tau)} =

Considerando o sin (2 tau) e o cos (2 tau) como constantes, podemos fazer isso aqui:

cos (2 tau) L {sin (2 (t - tau)) u (t - tau)} + sin (2 tau) L {cos (2 (t - tau)) u (t - tau)}

Passo 2

Então concluímos que...

L {sin (2 t) u (t - tau)} = cos (2 tau) L {sin (2 (t - tau)) u (t - tau)} + sin (2 tau) L {cos (2 (t - tau)) u (t - tau)}

Essas duas Laplaces a gente consegue encontrar, pois de acordo com a teoria a Laplace de funções com o produto pela função degrau dessa maneira aqui:

L {f (t - a) u (t - a)} = e^(- a s) L {f (t)}

Então para o primeiro caso...

L {sin (2 (t - tau)) u (t - tau)} = e^(- tau s) L {sin (2 t)} =

e^(- tau s) (2)/(s^2 + 2^2)

Já para o segundo caso...

L {cos (2 (t - tau)) u (t - tau)} = e^(- tau s) L {cos (2 t)} =

e^(- tau s) (s)/(s^2 + 2^2)

Então...

L {sin (2 t) u (t - tau)} = cos (2 tau) L {sin (2 (t - tau)) u (t - tau)} + sin (2 tau) L {cos (2 (t - tau)) u (t - tau)} ->

L {sin (2 t) u (t - tau)} = cos (2 tau) e^(- tau s) (2)/(s^2 + 2^2) + sin (2 tau) e^(- tau s) (s)/(s^2 + 2^2)

Resposta

L {sin (2 t) u (t - tau)} = cos (2 tau) e^(- tau s) (2)/(s^2 + 2^2) + sin (2 tau) e^(- tau s) (s)/(s^2 + 2^2)

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