Determine a transformada de Laplace inversa de:

F_1 (s) = (6 s^2 + 8 s + 3)/(s (s^2 + 2 s + 5))

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função F_1 a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

F_1 (s) = (6 s^2 + 8 s + 3)/(s (s^2 + 2 s + 5))

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

F_1 (s) = (A)/(s) + (B s + C)/(s^2 + 2 s + 5)

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

(A)/(s) + (B s + D)/(s^2 + 2 s + 5) = (A (s^2 + 2 s + 5))/(s (s^2 + 2 s + 5)) + ((B s + C) s)/(s (s^2 + 2 s + 5)) =

(A (s^2 + 2 s + 5) + (B s + C) s)/(s (s^2 + 2 s + 5))

Igualando e cancelando o denominador...

(6 s^2 + 8 s + 3)/(s (s^2 + 2 s + 5)) = (A (s^2 + 2 s + 5) + (B s + C) s)/(s (s^2 + 2 s + 5)) ->

A (s^2 + 2 s + 5) + (B s + C) s = 6 s^2 + 8 s + 3

Então...

A s^2 + 2 A s + 5 A + B s^2 + C s = 6 s^2 + 8 s + 3 ->

(A + B) s^2 + (2 A + C) s + 5 A = 6 s^2 + 8 s + 3 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 6

2 A + C = 8

5 A = 3

Resolvendo esse sisteminha...

A = (3)/(5)

B = 6 - (3)/(5) = (27)/(5)

C = 8 - 2 A = 8 - (6)/(5) = (34)/(5)

Ou seja, por frações parciais concluímos que V (s) é...

F_1 (s) = (3)/(5) * (1)/(s) + (1)/(5) * (27 s + 34)/(s^2 + 2 s + 5)

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s^2 ainda está horrível, não está? Como s^2 + 2 s + 5 não tem raiz porque 2^2 é menor que 4 * 5 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s^2 + 2 s + 5 = (s + a)^2 + b^2 ->

s^2 + 2 s + 5 = s^2 + 2 a s + a^2 + b^2 ->

Então...

2 a = 2

E

a^2 + b^2 = 5

Onde tiramos que a = 1 e b = 2 . Então...

F_1 (s) = (3)/(5) * (1)/(s) + (1)/(5) * (27 s + 34)/(s^2 + 2 s + 5) ->

F_1 (s) = (3)/(5) * (1)/(s) + (1)/(5) * (27 s + 34)/((s + 1)^2 + 2^2)

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 1 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 34 em 27 e 7 :

F_1 (s) = (3)/(5) * (1)/(s) + (1)/(5) * (27 s + 27 + 7)/((s + 1)^2 + 2^2)

E agora separando as frações...

F_1 (s) = (3)/(5) * (1)/(s) + (1)/(5) * (27 s + 27)/((s + 1)^2 + 2^2) + (1)/(5) * (7)/((s + 1)^2 + 2^2) ->

Olha que legal agora: colocando em evidência e adicionando 2 no numerador da terceira fração...

F_1 (s) = (3)/(5) * (1)/(s) + (27)/(5) * (s + 1)/((s + 1)^2 + 2^2) + (7)/(10) * (2)/((s + 1)^2 + 2^2)

Viu só! Apareceu o s 1 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L^(- 1) {F_1 (s)} = (3)/(5) L^(- 1) {(1)/(s)} + (27)/(5) L^(- 1) {(s + 1)/((s + 1)^2 + 2^2)} + (7)/(10) L^(- 1) {(2)/((s + 1)^2 + 2^2)}

E a Laplace inversa de uma função F (s + c) é...

L^(- 1) {F (s + c)} = e^(- c t) L^(- 1) {F (s)}

Logo...

L^(- 1) {F_1 (s)} = (3)/(5) L^(- 1) {(1)/(s)} + (27)/(5) e^(- t) L^(- 1) {(s)/(s^2 + 2^2)} + (7)/(10) e^(- t) L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2^2)}

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

L^(- 1) {F_1 (s)} = (3)/(5) + (27)/(5) e^(- t) cos (2 t) + (7)/(10) e^(- t) sin (2 t)

Resposta

L^(- 1) {F_1 (s)} = (3)/(5) + (27)/(5) e^(- t) cos (2 t) + (7)/(10) e^(- t) sin (2 t)

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