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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 30a

Determine a transformada de Laplace inversa de:

F 1 s = 6 s 2 + 8 s + 3 s s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função F 1 a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

F 1 s = 6 s 2 + 8 s + 3 s s 2 + 2 s + 5

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

F 1 s = A s + B s + C s 2 + 2 s + 5

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + B s + D s 2 + 2 s + 5 = A s 2 + 2 s + 5 s s 2 + 2 s + 5 + B s + C s s s 2 + 2 s + 5 =

A s 2 + 2 s + 5 + B s + C s s s 2 + 2 s + 5

Igualando e cancelando o denominador...

6 s 2 + 8 s + 3 s s 2 + 2 s + 5 = A s 2 + 2 s + 5 + B s + C s s s 2 + 2 s + 5 →

A s 2 + 2 s + 5 + B s + C s = 6 s 2 + 8 s + 3

Então...

A s 2 + 2 A s + 5 A + B s 2 + C s = 6 s 2 + 8 s + 3 →

A + B s 2 + 2 A + C s + 5 A = 6 s 2 + 8 s + 3 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 6

2 A + C = 8

5 A = 3

Resolvendo esse sisteminha...

A = 3 5

B = 6 - 3 5 = 27 5

C = 8 - 2 A = 8 - 6 5 = 34 5

Ou seja, por frações parciais concluímos que V s é...

F 1 s = 3 5 ⋅ 1 s + 1 5 ⋅ 27 s + 34 s 2 + 2 s + 5

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s 2 ainda está horrível, não está? Como s 2 + 2 s + 5   não tem raiz porque 2 2 é menor que 4 ⋅ 5 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s 2 + 2 s + 5 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 2 s + 5 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Então...

2 a = 2

E

a 2 + b 2 = 5

Onde tiramos que a = 1 e b = 2 . Então...

F 1 s = 3 5 ⋅ 1 s + 1 5 ⋅ 27 s + 34 s 2 + 2 s + 5   →

F 1 s = 3 5 ⋅ 1 s + 1 5 ⋅ 27 s + 34 s + 1 2 + 2 2

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 1 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 34 em 27 e 7 :

F 1 s = 3 5 ⋅ 1 s + 1 5 ⋅ 27 s + 27 + 7 s + 1 2 + 2 2

E agora separando as frações...

F 1 s = 3 5 ⋅ 1 s + 1 5 ⋅ 27 s + 27 s + 1 2 + 2 2 + 1 5 ⋅ 7 s + 1 2 + 2 2   →

Olha que legal agora: colocando em evidência e adicionando 2 no numerador da terceira fração...

F 1 s = 3 5 ⋅ 1 s + 27 5 ⋅ s + 1 s + 1 2 + 2 2 + 7 10 ⋅ 2 s + 1 2 + 2 2

Viu só! Apareceu o s 1 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L - 1 F 1 s = 3 5 L - 1 1 s + 27 5 L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + 7 10 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2

E a Laplace inversa de uma função F s + c é...

L - 1 F s + c = e - c t L - 1 F s

Logo...

L - 1 F 1 s = 3 5 L - 1 1 s + 27 5 e - t L - 1 s s 2 + 2 2 + 7 10 e - t L - 1 1 s 2 + 2 2

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

L - 1 F 1 s = 3 5 + 27 5 e - t cos ⁡ 2 t + 7 10 e - t sin ⁡ 2 t

Resposta

L - 1 F 1 s = 3 5 + 27 5 e - t cos ⁡ 2 t + 7 10 e - t sin ⁡ 2 t

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