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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 32b

Determine a transformada de Laplace inversa de cada uma das seguintes funções:

s 2 - 2 s + 4 s + 1 s + 2 2  

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

s 2 - 2 s + 4 s + 1 s + 2 2  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + 1 + B s + 2 + C s + 2 2

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A , B e C primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + 1 + B s + 2 + C s + 2 2 =

A s + 2 2 + B s + 1 s + 2   + C s + 1 s + 1 s + 2 2  

Igualando e cancelando o denominador...

s 2 - 2 s + 4 s + 1 s + 2 2 = A s + 2 2 + B s + 1 s + 2   + C s + 1 s + 1 s + 2 2     →

A s + 2 2 + B s + 1 s + 2   + C s + 1 = s 2 - 2 s + 4

Resolvendo esses produtos aí...

A s 2 + 4 s + 4 + B s 2 + 2 s + s + 2 + C s + C = s 2 - 2 s + 4 →

A s 2 + 4 A s + 4 A + B s 2 + 3 B s + 2 B + C s + C = s 2 - 2 s + 4 →

Então organizando por s 2 ,   s e constante...

A + B s 2 + 4 A + 3 B + C s + 4 A + 2 B + C = s 2 - 2 s + 4   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômio...

A + B = 1

4 A + 3 B + C = - 2  

4 A + 2 B + C = 4  

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = 1 - B na segunda...

4 A + 3 B + C = - 2       →             4 - 4 B + 3 B + C = - 2             →

  - B + C = - 6       →           C = - 6 + B

Substituindo tudo na terceira...

4 A + 2 B + C = 4           →       4 - 4 B + 2 B - 6 + B = 4           →

4 - B - 6 = 4     →           B = - 6

Então...

A = 7           e             C = - 12

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

s 2 - 2 s + 4 s + 1 s + 2 2 = 7 1 s + 1 - 6 1 s + 2 - 12 1 s + 2 2

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

7 L 1 s + 1 - 6 L 1 s + 2 - 12 L 1 s + 2 2

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s e L t = 1 / s 2 . Então...

L e - c t = 1 s + c         e           L e - c t t = 1 s + c 2

Ou seja, no nosso caso...

7 L 1 s + 1 - 6 L 1 s + 2 - 12 L 1 s + 2 2

7 e - t - 6 e - 2 t - 12 e - 2 t   t

Resposta

7 e - t - 6 e - 2 t - 12 e - 2 t   t

Ver Outros Exercícios desse livro