Determine a transformada de Laplace Inversa de:

(6 (s - 1))/(s^4 - 1)

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

(6 (s - 1))/(s^4 - 1)

Podemos começar fatorando esse denominador lembrando-se de que...

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

Então...

s^4 - 1 = (s^2)^2 - 1^2 ->

(s^2 + 1) (s^2 - 1)

Novamente, podemos fatorar (s^2 - 1) ...

(s^2 + 1) (s + 1) (s - 1)

Então...

(6 (s - 1))/(s^4 - 1) = (6 (s - 1))/((s^2 + 1) (s + 1) (s - 1)) =

Essa é a função que devemos procurar à inversa:

(6)/((s^2 + 1) (s + 1))

No nosso caso, devemos separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

(A)/(s + 1) + (B s + C)/(s^2 + 1)

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

(A)/(s + 1) + (B s + C)/(s^2 + 1) =

(A (s^2 + 1) + (B s + C) (s + 1))/((s^2 + 1) (s + 1))

Igualando e cancelando o denominador...

(6)/((s^2 + 1) (s + 1)) = (A (s^2 + 1) + (B s + C) (s + 1))/((s^2 + 1) (s + 1)) ->

A (s^2 + 1) + (B s + C) (s + 1) = 6

Então...

A s^2 + A + B s^2 + B s + C s + C = 6 ->

(A + B) s^2 + (B + C) s + A + C = 6 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 0

B + C = 0

A + C = 6

Resolvendo esse sisteminha...

A = - B e C = - B -> - B - B = 6 -> B = - 3

Então...

B = - 3 , A = 3 e C = 3

Ou seja, por frações parciais concluímos que é...

(6)/((s^2 + 1) (s + 1)) = (3)/(s + 1) + (- 3 s + 3)/(s^2 + 1)

Passo 3

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade?

Agora separando as frações...

(3)/(s + 1) + (- 3 s + 3)/(s^2 + 1) = 3 (1)/(s + 1) - 3 (s)/(s^2 + 1) + 3 (1)/(s^2 + 1)

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L^(- 1) {(6 (s - 1))/(s^4 - 1)} = 3 L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - 3 L^(- 1) {(s)/(s^2 + 1)} + 3 L^(- 1) {(1)/(s^2 + 1)} =

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

3 e^(- t) - 3 cos (t) + 3 sin (t)

Resposta

3 e^(- t) - 3 cos (t) + 3 sin (t)

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