Determine as transformadas de Fourier dos sinais indicados na Figura 18.3 4 .

Passo 1

Galerinha, vamos pra letra (a)! Podemos expressar essa função da seguinte maneira:

y t = 1 ,     - 2 < t < - 1 2 ,         - 1 < t < 1 1 ,           1 < t < 2 0 ,           c a s o   c o n t r á r i o

Aplicando a transformada de Fourier:

Y ω = ∫ - ∞ ∞ y t e - j ω t d t

Y ω = ∫ - 2 - 1 e - j ω t d t + ∫ - 1 1 2 e - j ω t d t + ∫ 1 2 e - j ω t d t

Y ω = e - j ω t - j ω - 2 - 1 + 2 e - j ω t - j ω - 1 1 + e - j ω t - j ω 1 2

Y ω = - e - j ω j ω + e j 2 ω j ω + - 2 e - j 2 ω j ω + 2 e j ω t j ω + - e - j 2 ω j ω + e - j ω j ω

Y ω = e j ω - e - j ω j ω + e j 2 ω - e - j 2 ω j ω

Lembram dessa relação trigonométrica?

s e n t = e j t - e - j t 2 j

Assim,

Y ω = 2 sen ⁡ 2 ω + sen ⁡ ω ω

Passo 2

Agora a letra (b). Podemos expressar essa função da seguinte maneira:

z t = - 2 t [ u t - u t - 1 ]

Aplicando a transformada de Fourier:

Z ω = ∫ - ∞ ∞ z t e - j ω t d t

Z ω = ∫ - ∞ ∞ - 2 t u t - u t - 1 e - j ω t d t

Z ω = ∫ 0 1 - 2 t e - j ω t d t

Z ω = - 2 e - j ω t - j ω 2 - j ω t - 1 0 1

Z ω = - 2 1 + j ω e - j ω + 2 ω 2

Resposta

  1. Y ω = 2 sen ⁡ 2 ω + sen ⁡ ω ω
  2. Z ω = - 2 1 + j ω e - j ω + 2 ω 2
Ver Outros Exercícios desse livro