Obtenha a transformada de Fourier da função da Figura 18.26 .

Passo 1

Galerinha, podemos ver no gráfico que a função é comporta por dois degraus unitários. Logo, vamos escrever a função no domínio do tempo:

f t = u t + 2 - u t + 1 - u t - 1 + u ( t - 2 )

Usando a propriedade do deslocamento e a tabela de Transformadas de Fourier, a transformada de Fourier da função f ( t ) é dada por:

F ω = e j 2 ω π δ ω + 1 j ω - e j ω π δ ω + 1 j ω - e - j ω π δ ω + 1 j ω + e - j 2 ω π δ ω + 1 j ω

Passo 2

Uma coisa maneira dos números complexos é que, com a ajuda deles, podemos escrever funções trigonométricas também. Por exemplo, o cosseno e o seno podem ser expressos como:

cos ⁡ x = e j x + e - j x 2

sin ⁡ x = e j x - e - j x 2

Vamos agrupar as exponenciais aqui na função para usarmos essas simplificações!

F ω = e j 2 ω + e - j 2 ω π δ ω + 1 j ω - e j ω + e j 2 ω π δ ω + 1 j ω

Sabemos já que cos ⁡ x = e j x + e - j x 2 . Vamos substituir esse valor na expressão:

F ω = 2 cos ⁡ 2 ω π δ ω + 1 j ω - 2 cos ⁡ ω π δ ω + 1 j ω

F ω = 2 cos ⁡ 2 ω - cos ⁡ ω j ω

Resposta

A transformada é igual a:

F ω = 2 cos ⁡ 2 ω - cos ⁡ ω j ω

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