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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 48

Determine f ( t ) usando a convolução, dado que:

a) F s = 4 ( s 2 + 2 s + 5 ) ²

b) F s = 2 s ( s + 1 ) ( s 2 + 4 )

Passo 1

a) Vamos dividir F ( s ) como a multiplicação de duas frações iguais:

F s = 2 s 2 + 2 s + 5 . 2 s 2 + 2 s + 5

Vamos chamar G s = 2 s 2 + 2 s + 5 , dessa forma:

F s = G s . G ( s )

O que vamos fazer? Vamos encontrar g ( t ) , a transformada inversa de G ( s ) primeiro.

Depois, como F s = G s . G ( s ) no domínio de Laplace, no domínio do tempo teremos uma convolução:

f t = ∫ 0 t g λ g t - λ   d λ

Então bora lá seguir esses passos :D

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transformada inversa de G ( s ) ok?

G s = 2 s 2 + 2 s + 5

Vamos remanejar o denominador para encontrarmos um quadrado perfeito e chegarmos ao modelo da tabela b s - a 2 + b ² :

G s = 2 s 2 + 2 s + 1 + 4

G s = 2 ( s + 1 ) ² + 2 ²

Dessa forma, temos pela tabela que a inversa é:

g t = e - 1 t s e n ( 2 t )

Passo 3

Agora vamos fazer a convolução para encontrar f ( t ) :

f t = ∫ 0 t g λ g t - λ   d λ

f t = ∫ 0 t e - λ s e n 2 λ . e - t - λ s e n ( 2 ( t - λ ) )   d λ

Vamos usar a relação trigonométrica (sabendo que temos a multiplicação de dois senos dentro da nossa integral):

s e n a . s e n b = cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b 2

Assim:

f t = ∫ 0 t e - λ . e - t - λ cos ⁡ 2 λ - ( 2 t - λ ) - cos ⁡ 2 λ + 2 ( t - λ ) 2   d λ

Sabendo que e - t - λ = e - t . e - λ :

f t = ∫ 0 t e - λ . e - t . e - λ cos ⁡ 2 λ - ( 2 t - 2 λ ) - cos ⁡ 2 λ + 2 t - 2 λ 2   d λ

f t = 1 2 e - t ∫ 0 t e - 2 λ . ( cos ⁡ - 2 t + 4 λ - cos ⁡ 2 t )   d λ

Vamos separar a integral em duas:

f t = 1 2 e - t ∫ 0 t e - 2 λ . cos ⁡ 4 λ - 2 t   d λ - ∫ 0 t e - 2 λ . cos ⁡ 2 t   d λ

Passo 4

Por relação trigonométrica, sabemos que cos ⁡ a - b = cos ⁡ a . cos ⁡ b + s e n a . s e n ( b ) .

Além disso, c o s ⁡ ( 2 t ) é uma constante e podemos tirar pra fora:

f t = 1 2 e - t ∫ 0 t e - 2 λ . ( cos ⁡ 4 λ . cos ⁡ 2 t + s e n 4 λ . s e n 2 t )   d λ - cos ⁡ 2 t ∫ 0 t e - 2 λ   d λ

A integral ∫ 0 t e - 2 λ   d λ é e - 2 λ - 2 0 t = - e - 2 t - 1 2 = - e - 2 t + 1 2    

Então:

f t = 1 2 e - t ∫ 0 t e - 2 λ . cos ⁡ 4 λ . cos ⁡ 2 t + e - 2 λ . s e n 4 λ . s e n 2 t   d λ - cos ⁡ 2 t - e - 2 t + 1 2

Passo 5

Separando a primeira integral em duas:

f t = 1 2 e - t ∫ 0 t e - 2 λ . cos ⁡ 4 λ . cos ⁡ 2 t   d λ + ∫ 0 t e - 2 λ . s e n 4 λ . s e n 2 t   d λ - cos ⁡ 2 t - e - 2 t + 1 2

Tirando as constantes:

f t = 1 2 e - t cos ⁡ 2 t ∫ 0 t e - 2 λ . cos ⁡ 4 λ   d λ + s e n 2 t ∫ 0 t e - 2 λ . s e n 4 λ   d λ - cos ⁡ 2 t - e - 2 t + 1 2

Agora, calculando as duas integrais restantes, temos que:

f t = 1 2 e - t cos ⁡ 2 t   e - 2 t s e n 4 t 5 + - e - 2 t cos ⁡ 4 t + 1 10 + s e n 2 t - e - 2 t cos ⁡ 4 t + 1 5 - e - 2 t s e n 4 t 10   - cos ⁡ 2 t - e - 2 t + 1 2

Passo 6

b) Mais uma vez, vamos separar F ( s ) na multiplicação de duas frações:

F s = 2 s + 1 . s s + 4

E aí vamos chamar X s = 2 s + 1 e Y s = s s + 2 ²

Dessa forma, F s = X s . Y ( s ) , e consequentemente:

f t = x t * y ( t )

Primeiro vamos encontrar x ( t ) e y ( t ) .

Sabemos que eles são as transformadas inversas, respectivamente, de X ( s ) e Y ( s ) .

Então, pelas transformadas tabeladas, temos:

x t = 2 e - t

y t = c o s ⁡ ( 2 t )

Passo 7

Agora vamos fazer a convolução para encontrar f ( t ) :

f t = ∫ 0 ∞ y λ . x t - λ     d λ

Podemos utilizar a integral simplificada:

f t = ∫ 0 t c o s 2 λ . 2 e - ( t - λ )     d λ

f t = 2 e - t ∫ 0 t c o s 2 λ . e λ     d λ

Resolvendo a integral:

f t = 2 e - t 2 e t s e n 2 t + e t cos ⁡ 2 t - 1 5

f t = 4 s e n 2 t + 2 cos ⁡ 2 t - 2 e - t 5

Resposta

a) f t = 1 2 e - t cos ⁡ 2 t   e - 2 t s e n 4 t 5 + - e - 2 t cos ⁡ 4 t + 1 10 + s e n 2 t - e - 2 t cos ⁡ 4 t + 1 5 - e - 2 t s e n 4 t 10   - cos ⁡ 2 t - e - 2 t + 1 2

b) f t = 4 s e n 2 t + 2 cos ⁡ 2 t - 2 e - t 5

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