Enunciado
Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 48
Determine usando a convolução, dado que:
a)
b)
Passo 1
a) Vamos dividir como a multiplicação de duas frações iguais:
Vamos chamar , dessa forma:
O que vamos fazer? Vamos encontrar , a transformada inversa de primeiro.
Depois, como no domínio de Laplace, no domínio do tempo teremos uma convolução:
Então bora lá seguir esses passos :D
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transformada inversa de ok?
Vamos remanejar o denominador para encontrarmos um quadrado perfeito e chegarmos ao modelo da tabela :
Dessa forma, temos pela tabela que a inversa é:
Passo 3
Agora vamos fazer a convolução para encontrar :
Vamos usar a relação trigonométrica (sabendo que temos a multiplicação de dois senos dentro da nossa integral):
Assim:
Sabendo que :
Vamos separar a integral em duas:
Passo 4
Por relação trigonométrica, sabemos que .
Além disso, é uma constante e podemos tirar pra fora:
A integral é
Então:
Passo 5
Separando a primeira integral em duas:
Tirando as constantes:
Agora, calculando as duas integrais restantes, temos que:
Passo 6
b) Mais uma vez, vamos separar na multiplicação de duas frações:
E aí vamos chamar e
Dessa forma, , e consequentemente:
Primeiro vamos encontrar e .
Sabemos que eles são as transformadas inversas, respectivamente, de e .
Então, pelas transformadas tabeladas, temos:
Passo 7
Agora vamos fazer a convolução para encontrar :
Podemos utilizar a integral simplificada:
Resolvendo a integral:
Resposta
a)
b)