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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 47

Um sistema tem a função de transferência

H s = s ( s + 1 ) ( s + 2 )

a) Encontre a resposta do sistema ao impulso.

b) Determine a saída y ( t ) , uma vez que a entrada é x t = u ( t ) .

Passo 1

a) Para encontrarmos a resposta ao impulso, basta fazermos a transformada de Laplace inversa de H ( s ) e aí teremos h ( t ) , certo?

Então vamo lá, pelo método das frações parciais:

s ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2

Somando as frações:

s ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 2 + B ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s + 2 )

Como os denominadores dos dois lados são iguais:

s = A s + 2 + B ( s + 1 )

s = A s + 2 A + B s + B

s = s A + B + 2 A + B

Passo 2

Beleza, agora vamos igualar os termos que multiplicam s e depois os termos independentes, isso nos dá o sistema:

1 = A + B 0 = 2 A + B

Resolvendo esse sistema, encontramos A = - 1 e B = 2 :)

Então:

s ( s + 1 ) ( s + 2 ) = - 1 s + 1 + 2 s + 2

Olhando na tabela de transformadas inversas, temos que b s - a tem transformada inversa b e a t , então:

h t = - 1 e - 1 t + 2 e - 2 t

Passo 3

b) Para encontrarmos y ( t ) , podemos primeiro encontrar Y ( s ) fazendo a multiplicação H s . X ( s ) (sabemos que a convolução no domínio t corresponde à multiplicação em Laplace).

Encontrando Y ( s ) , fazemos sua transformada inversa e assim chegamos em y ( t ) :D

Vamos lá, antes de tudo, qual é o X ( s ) ?

Ele é a transformada de Laplace de x t = u ( t ) , então:

X s = 1 s

Passo 4

Agora sim vamos fazer a multiplicação H s . X ( s ) :

Y s = s ( s + 1 ) ( s + 2 ) . 1 s

Cortando o s em cima e embaixo:

Y s = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 )

Belezinha, agora é só fazer a transformada inversa de Y ( s ) para chegarmos em y ( t ) .

E vamos de frações parciais :P

Passo 5

Por frações parciais:

Y s = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = C s + 1 + D s + 2

Somando as frações:

1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = C s + 2 + D ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s + 2 )

1 = C s + 2 + D ( s + 1 )

1 = C s + 2 C + D s + D

1 = s C + D + 2 C + D

Igualando os termos:

C + D = 0 2 C + D = 1

Resolvendo esse sistema, encontramos C = 1 e D = - 1 , então:

Y s = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = 1 s + 1 - 1 s + 2

Fazendo a transformada inversa pela tabela, encontramos:

y t = e - t - e - 2 t

Resposta

a) h t = - 1 e - 1 t + 2 e - 2 t

b) y t = e - t - e - 2 t

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