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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 66

Obtenha a equação diferencial para v 0 ( t ) no circuito com A O P da Figura 8.111 .

Passo 1

Galera, vamos assumir aqui que o nosso amp-op é ideal, beleza? Assim, podemos assumir o seguinte:

i - = i + = 0 … 1

v - = v + … ( 2 )

Onde:

  • i + : é a corrente no terminal não-inversor;
  • i - : é a corrente no terminal inversor;
  • v + : é a tensão no nó não-inversor;
  • v - : é a tensão no nó inversor.

Passo 2

Seja o nó 1 o nó entre os dois resistores de 60   k Ω . Da figura do circuito, a tensão no terminal inversor é a mesma da tensão de saída v 0 :

v 0 = v + = v - … 3

Aplicando a lei dos nós no nó não-inversor do amplificador operacional:

v 1 - v + R - C 2 d v + d t = 0 … 4

Aplicando a lei dos nós no nó 1:

v s - v 1 R - v 1 - v + R + C 1 d v 1 - v 0 d t = 0 … 5

Passo 3

Substituindo a equação ( 3 ) em ( 4 ) :

v 1 - v + R - C 2 d v 0 d t = 0

v 1 = R C 2 d v 0 d t + v 0 … 6

Substituindo a equação ( 3 ) em ( 5 ) :

v S - v 1 R - v 1 - v 0 R + C 1 d v 1 - v 0 d t = 0

v s R - 2 v 1 R + v 0 R + C 1 d v 1 d t - C 1 d v 0 d t = 0 … ( 7 )

Agora, se pegarmos a equação ( 6 ) e substituirmos na equação ( 7 ) :

v S R - 2 C 2 d v 0 d t + v 0 R + R C 1 C 2 d 2 v 0 d t 2 + C 1 d v 0 d t - C 1 d v 0 d t = 0

Vamos multiplicar a equação inteira por R e rearranjar os termos aqui!

R 2 C 1 C 2 d 2 v 0 d t - 2 R C 2 d v 0 d t + v 0 + v S = 0

Dividindo por R 2 C 1 C 2 :

d 2 v 0 d t - 2 R C 1 d v 0 d t + 1 R 2 C 1 C 2 v 0 = - 1 R 2 C 1 C 2 v S

Substituindo os valores de R ,   C 1 e C 2 :

d 2 v 0 d t - ( 3,33 × 10 6 ) d v 0 d t + ( 1,39 × 10 12 ) v 0 = - ( 1,39 × 10 12 ) v S

Resposta

A equação diferencial para v 0 ( t ) é igual a:

d 2 v 0 d t - ( 3,33 × 10 6 ) d v 0 d t + ( 1,39 × 10 12 ) v 0 = - ( 1,39 × 10 12 ) v S

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