Enunciado

Dado o circuito da Figura 8.90 , determine v ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Quando estamos em t = 0^- , ou seja, no momento antes de t = 0 , nós temos a chave aberta. Assim, o circuito fica com a seguinte cara:

Podemos transformar essa fonte de corrente em paralelo com um resistor (circulado em vermelho) em uma fonte de tensão em série com um resistor. Para encontrarmos o valor da nova fonte de tensão, basta multiplicarmos a corrente gerada pelo valor da resistência. Assim,

V_1 = 4 xx 1 = 4 V

V_2 = 2 xx 6 = 12 V

Dessa maneira, podemos encontrar o valor da tensão no instante inicial:

v (0) = 4 - 12 = - 8 V

Passo 2

Quando t > 0 , passamos a ter o seguinte circuito (já aproveitando a transformação feita no passo anterior):

Vamos agora procurar as raízes:

alpha = (R)/(2 L) = (6)/(2 (1)) = 3

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt((1) (0,04))) = (1)/(sqrt(0,04)) = 5

s_1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega_0^2) = - 3 +- j 4

Como as raízes são imaginárias, podemos escrever a tensão como:

v (t) = V_s + [(A cos (omega_d t) + B sin (omega_d t)) e^(- 2 t)] , o n d e omega_d = 4 e V_s = - 12 V

Passo 3

Quando olhamos para o instante t = 0 , temos:

v (0) = - 8 = - 12 + A

A = 4

A corrente de um indutor pode ser escrita como:

i_C (t) = C (d v_C)/(d t)

i_C (t) = C (- 3) [(A cos (4 t) + B sin (4 t)) e^(- 3 t)] + C 4 [ (- A sin (4 t) + B cos (4 t)) e^(- 3 t) ]

No instante t = 0 ,

i_C (0) = 0 = - 3 A + 4 B

B = (3 A)/(4) = (3 xx 4)/(4)

B = 3

Portanto, a tensão final será igual a:

v (t) = - 12 + [(4 cos (4 t) + 3 sin (4 t)) e^(- 3 t)]

Resposta

A tensão é igual a:

v (t) = - 12 + [(4 cos (4 t) + 3 sin (4 t)) e^(- 3 t)] V

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Calcule i para t0 , se i 0 = 2 A ev 0 = 6 V .
Calcule v para t0 , se o circuito está em regime permanente em t = 0 - ,
Calcule v para t0 , se o circuito está em regime permanente em t = 0 - ,
Calcule i , t0 , se não há energia inicial armazenada e:a) R = 1 2 Ω ,μ = 2 ; b)R = 1 2Ω ,μ = 1 ; c) R = 1 4Ω ,μ = 2 .
Calcule v , t0 , se 0 circuito está em regime permanente em t = 0 - .