Enunciado

Obtenha f t para as transformadas a seguir:

4 - e - 2 s s 2 + 5 s + 4  

Passo 1

Primeiramente, perceba que o denominador tem raízes - 1 e - 4 , logo ele pode ser reescrito assim:

s 2 + 5 s + 4 = s + 1 s + 4

Então...

4 - e - 2 s s 2 + 5 s + 4   = 4 - e - 2 s 1 s + 1 s + 4

Podemos separar essa fração aí então em frações parciais!

Passo 2

Então...

1 s + 1 s + 4 = A s + 1 + B s + 4 =

A s + 4 + B s + 1 s + 1 s + 4

Cancelando então os denominadores ganharemos...

A s + 4 + B s + 1 = 1   →

Simplificando...

A s + 4 A + B s + B = 1   →

A + B s + 4 A + B = 1   →

E agora resolvendo esse sistema aqui...

A + B = 0

4 A + B = 1

Vamos ganhar...

A = - B         →         - 4 B + B = 1           →   B = - 1 3

A = 1 3

Então, podemos concluir que...

4 - e - 2 s s 2 + 5 s + 4   = 4 - e - 2 s 1 s + 1 s + 4   →

4 - e - 2 s s 2 + 5 s + 4   = 4 - e - 2 s 1 3 ⋅ 1 s + 1 - 1 3 ⋅ 1 s + 4 =

4 3 ⋅ 1 s + 1 - 4 3 ⋅ 1 s + 4 - 1 3 ⋅ 1 s + 1 e - 2 s + 1 3 ⋅ 1 s + 4 e - 2 s

Passo 3

Agora devemos aplicar a Laplace inversa:

4 3 ⋅ L - 1 1 s + 1 - 4 3 ⋅ L - 1 1 s + 4 - 1 3 ⋅ L - 1 1 s + 1 e - 2 s + 1 3 ⋅ L - 1 1 s + 4 e - 2 s

Considerando lá da teoria que...

L - 1 e - c s F s = f t - c u c t

Então...

4 3 ⋅ L - 1 1 s + 1 - 4 3 ⋅ L - 1 1 s + 4 - 1 3 ⋅ L - 1 1 s + 1 e - 2 s + 1 3 ⋅ L - 1 1 s + 4 e - 2 s

4 3 ⋅ e - t u 0 t - 4 3 ⋅ e - 4 t u 0 t - 1 3 ⋅ e - t - 2 u 2 t + 1 3 ⋅ e - 4 t - 2 u 2 t

Resposta

4 3 ⋅ e - t u 0 t - 4 3 ⋅ e - 4 t u 0 t - 1 3 ⋅ e - t - 2 u 2 t + 1 3 ⋅ e - 4 t - 2 u 2 t

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