Obtenha f (t) para as transformadas a seguir:

(4 - e^(- 2 s))/(s^2 + 5 s + 4)

Passo 1

Primeiramente, perceba que o denominador tem raízes - 1 e - 4 , logo ele pode ser reescrito assim:

s^2 + 5 s + 4 = (s + 1) (s + 4)

Então...

(4 - e^(- 2 s))/(s^2 + 5 s + 4) = (4 - e^(- 2 s)) ((1)/((s + 1) (s + 4)))

Podemos separar essa fração aí então em frações parciais!

Passo 2

Então...

(1)/((s + 1) (s + 4)) = (A)/(s + 1) + (B)/(s + 4) =

(A (s + 4) + B (s + 1))/((s + 1) (s + 4))

Cancelando então os denominadores ganharemos...

A (s + 4) + B (s + 1) = 1 ->

Simplificando...

A s + 4 A + B s + B = 1 ->

(A + B) s + 4 A + B = 1 ->

E agora resolvendo esse sistema aqui...

A + B = 0

4 A + B = 1

Vamos ganhar...

A = - B -> - 4 B + B = 1 -> B = - (1)/(3)

A = (1)/(3)

Então, podemos concluir que...

(4 - e^(- 2 s))/(s^2 + 5 s + 4) = (4 - e^(- 2 s)) ((1)/((s + 1) (s + 4))) ->

(4 - e^(- 2 s))/(s^2 + 5 s + 4) = (4 - e^(- 2 s)) ((1)/(3) * (1)/(s + 1) - (1)/(3) * (1)/(s + 4)) =

(4)/(3) * (1)/(s + 1) - (4)/(3) * (1)/(s + 4) - (1)/(3) * (1)/(s + 1) e^(- 2 s) + (1)/(3) * (1)/(s + 4) e^(- 2 s)

Passo 3

Agora devemos aplicar a Laplace inversa:

(4)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - (4)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 4)} - (1)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 1) e^(- 2 s)} + (1)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 4) e^(- 2 s)}

Considerando lá da teoria que...

L^(- 1) {e^(- c s) F (s)} = f (t - c) u_c (t)

Então...

(4)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - (4)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 4)} - (1)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 1) e^(- 2 s)} + (1)/(3) * L^(- 1) {(1)/(s + 4) e^(- 2 s)}

(4)/(3) * e^(- t) u_0 (t) - (4)/(3) * e^(- 4 t) u_0 (t) - (1)/(3) * e^(- (t - 2)) u_2 (t) + (1)/(3) * e^(- 4 (t - 2)) u_2 (t)

Resposta

(4)/(3) * e^(- t) u_0 (t) - (4)/(3) * e^(- 4 t) u_0 (t) - (1)/(3) * e^(- (t - 2)) u_2 (t) + (1)/(3) * e^(- 4 (t - 2)) u_2 (t)

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