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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 34b

Determine as funções temporais que possuem as seguintes transformadas de Laplace:

e - s + 4 e - 2 s s 2 + 6 s + 8

Passo 1

Primeiramente, perceba que o denominador tem raízes - 2 e - 4 , logo ele pode ser reescrito assim:

s 2 + 6 s + 8 = s + 2 s + 4

Então...

e - s + 4 e - 2 s s 2 + 6 s + 8 = e - s + 4 e - 2 s 1 s + 2 s + 4

Podemos separar essa fração aí então em frações parciais!

Passo 2

Então...

1 s + 2 s + 4 = A s + 2 + B s + 4 =

A s + 4 + B s + 2 s + 2 s + 4

Cancelando então os denominadores ganharemos...

A s + 4 + B s + 2 = 1   →

Simplificando...

A s + 4 A + B s + 2 B = 1   →

A + B s + 4 A + 2 B = 1   →

E agora resolvendo esse sistema aqui...

A + B = 0

4 A + 2 B = 1

Vamos ganhar...

A = - B         →         - 4 B + 2 B = 1           →   B = - 1 2

A = 1 2

Então, podemos concluir que...

e - s + 4 e - 2 s s 2 + 6 s + 8 = e - s + 4 e - 2 s 1 s + 2 s + 4   →

e - s + 4 e - 2 s s 2 + 6 s + 8 = e - s + 4 e - 2 s 1 2 1 s + 2 - 1 2 1 s + 4 =

1 2 ⋅ 1 s + 2 e - s - 1 2 ⋅ 1 s + 4 e - s + 2 ⋅ 1 s + 2 e - 2 s - 2 ⋅ 1 s + 4 e - 2 s

Passo 3

Agora devemos aplicar a Laplace inversa:

1 2 ⋅ L - 1 1 s + 2 e - s - 1 2 ⋅ L - 1 1 s + 4 e - s + 2 ⋅ L - 1 1 s + 2 e - 2 s - 2 ⋅ L - 1 1 s + 4 e - 2 s

Considerando lá da teoria que...

L - 1 e - c s F s = f t - c u c t

Então...

1 2 ⋅ L - 1 1 s + 2 e - s - 1 2 ⋅ L - 1 1 s + 4 e - s + 2 ⋅ L - 1 1 s + 2 e - 2 s - 2 ⋅ L - 1 1 s + 4 e - 2 s

1 2 ⋅ e - 2 t - 1 u 1 t - 1 2 ⋅ e - 4 t - 1 u 1 t + 2 ⋅ e - 2 t - 2 u 2 t - 2 ⋅ e - 4 t - 2 u 2 t

Resposta

1 2 ⋅ e - 2 t - 1 u 1 t - 1 2 ⋅ e - 4 t - 1 u 1 t + 2 ⋅ e - 2 t - 2 u 2 t - 2 ⋅ e - 4 t - 2 u 2 t

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