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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 25

Seja

F s = 5 s + 1 s + 2 s + 3

  1. Use os teoremas dos valores iniciais e final para determinar f 0 e f ∞ .
  2. Verifique sua resposta no item a determinando f t usando frações parciais.

Passo 1

L e t r a   A

Bem, de acordo com os teoremas dos valores iniciais e final, podemos encontrar esses valores fazendo:

f 0 = lim s → ∞ ⁡ s 5 s + 1 s + 2 s + 3

E

f ∞ = lim s → 0 ⁡ s 5 s + 1 s + 2 s + 3

Vamos nessa?

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite:

f 0 = lim s → ∞ ⁡ s 5 s + 1 s + 2 s + 3   →

f 0 = lim s → ∞ ⁡ 5 s 2 + 5 s s 2 + 2 s + 3 s + 6 =

lim s → ∞ ⁡ 5 s 2 + 5 s s 2 + 5 s + 6

Como em cima em baixo está indo ao infinito ∞ / ∞ , podemos aplicar L ' H o p t a l :

f 0 = lim s → ∞ ⁡ 5 s 2 + 5 s ' s 2 + 5 s + 6 ' = lim s → ∞ ⁡ 10 s + 5 2 s + 5

Aplicando novamente...

f 0 = lim s → ∞ ⁡ 10 s + 5 ' 2 s + 5 ' = lim s → ∞ ⁡ 10 2 =

5

Passo 3

Agora calculemos o segundo limite:

f ∞ = lim s → 0 ⁡ s 5 s + 1 s + 2 s + 3 =

Substituindo o 0 ...

lim s → 0 ⁡ 0 ⋅ 5 2 3 = 0

Passo 4

L e t r a   B

Como o próprio item tem pedido, vamos separar em frações parciais:

F s = 5 s + 1 s + 2 s + 3 = 5 A s + 2 + B s + 3

Então, colocando as duas frações em uma só colocando o mesmo denominador...

A s + 2 + B s + 3 = A s + 3 s + 2 s + 3 + B s + 2 s + 3 s + 2 =

A s + 3 + B s + 2 s + 2 s + 3  

Igualando e cancelando o denominador...

F s = 5 s + 1 s + 2 s + 3 = 5 A s + 3 + B s + 2 s + 2 s + 3     →

A s + 3 + B s + 2 = s + 1

Então...

A s + 3 A + B s + 2 B = s + 1   →

A + B s + 3 A + 2 B = s + 1

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios que

A + B = 1

3 A + 2 B = 1

Resolvendo esse sisteminha...

3 A + 2 1 - A = 1   →

3 A - 2 A + 2 = 1   →

A = - 1

B = 1 - A = 2

Ou seja, por frações parciais concluímos que F s é...

F s = 5 s + 1 s + 2 s + 3 = 5 - 1 s + 2 + 2 s + 3

Passo 5

Aplicando então a transformada inversa pra saber quem é f t ...

f t = L - 1 F s = 5 - L - 1 1 s + 2 + 2 L - 1 1 s + 3

Ora, o resultado disso é...

f t = 5 - e - 2 t + 2 e - 3 t

Passo 6

Agora para encontrar f 0 ...

f 0 = 5 - e 0 + 2 e 0 =

5 - 1 + 2 = 5

E para f ∞ ...

lim t → ∞ ⁡ 5 - e - 2 t + 2 e - 3 t =

lim t → ∞ ⁡ 5 - 1 e 2 t + 2 e 3 t =

0

Resposta

f 0 = 5       e         f ∞ = 0

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