Enunciado

O gráfico de Bode de amplitude H ω é indicado na figura. Determine H ω .

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos nos basear nessa tabela aqui:

Vamos nessa?

Passo 2

Até chegar ω = 1 a gente tem um crescimento de 20 d b / d é c a d a , o que corresponde a linha 2 da nossa tabela:

j ω

Passo 3

De 1 até 10 , a gente tem uma constante em 0   d B . Ora bolas, a gente acabou de ver que tínhamos uma reta crescente de 20   d B / d é c a d a antes de ω = 1 . Para formar uma constante, a gente tem que subtrair 20   d B / d é c a d a a partir de ω = 1 . Em forma de desenho...

Onde a reta vermelha é devido ao crescimento passo anterior, e a reta verde corresponde a um polo de 20   d b / d é c a d a em p = 1 (linha 5 da nossa tabela):

1 1 + j ω 1  

Passo 4

De ω = 10 em diante a gente tem um decaimento de - 4 0   d b / d é c a d a . O que significa novamente que temos um polo em ω = 10 , mas dessa vez, o polo é quadrático...

1 1 + j ω 10 2

Assim, de acordo com a linha 4 da nossa tabela, de fato temos um decaimento de 20 ⋅ 2 = 40 d B / d é c a d a .

Passo 5

Juntando tudo então, a gente conclui que H j ω é o produto de todo mundo...

H j ω = j ω ⋅ 1 1 + j ω 2 ⋅ 1 1 + j ω 10 2   →

H j ω = j ω 1 + j ω 2 1 + j ω 10 2   →

Multiplicando em cima e em baixo por 2 ⋅ 10 2 ...

H j ω = 2 ⋅ 10 2 j ω 2 1 + j ω 2 10 2 1 + j ω 10 2   →

Então...

H j ω = 2 ⋅ 10 2 j ω 2 + j ω 10 1 + j ω 10 2   →

H j ω = 200 j ω 2 + j ω 10 + j ω 2   →

A gente pode trocar j ω por s ...

H s = 200 s 2 + s 10 + s 2

Resposta

H s = 200 s 2 + s 10 + s 2

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