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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 56

A tensão em um resistor de 1   Ω é v t = t e – 2 t   u ( t )   V .

(a) Qual é a energia total absorvida pelo resistor?

(b) Qual é a fração dessa energia absorvida na banda de frequência - 2 ≤ ω ≤ 2 ?

Passo 1

Então galera, vamos lá! Essa questão é sobre o Teorema de Parseval. Em matemática, Teorema de Parseval comumente se refere ao resultado que a transformada de Fourier é operador unitário. Isto se origina de um teorema de 1799 sobre séries matemáticas por Marc-Antoine Parseval, que foi aplicado posteriormente na série de Fourier. Ele basicamente nos diz que:

∫ - ∞ ∞ x t 2 d t = ∫ - ∞ ∞ X 2 π ω 2 d ω

Passo 2

Vamos pra solução! Nada demais, se liga:

W 1 Ω = ∫ - ∞ ∞ V 2 t d t = ∫ 0 ∞ t 2 e - 4 t d t = e - 4 t - 4 3 ( 16 t 2 + 8 t + 2 ) 0 ∞ = 2 64 = 0.0313 J

Passo 3

Para a faixa de frequência,

V ω = 1 2 + j ω 2

V ω 2 = V ω V * ω = 1 4 + j ω 2

W o = 1 2 π ∫ - 2 2 V ω 2 d ω = 2 2 π ∫ 0 2 1 4 + ω 2 2 d ω = 1 π 1 2 × 4 ω ω 2 + 4 + 0.5 tan - 1 ⁡ 0.5 ω 0 ∞

= 1 32 π + 1 64 = 0.0256

Da fração,

W o W = 0.0256 0.0313 = 81.79 %

Resposta

a )   0.0313 J

b )   81.79 %

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