Enunciado

Seja f t = 5 e - t - 2 u t . Determine F ( ω ) e use-a para determinar a energia total em f ( t ) .

Passo 1

Então galera, vamos lá! Essa questão é sobre o Teorema de Parseval. Em matemática, Teorema de Parseval comumente se refere ao resultado que a transformada de Fourier é operador unitário. Isto se origina de um teorema de 1799 sobre séries matemáticas por Marc-Antoine Parseval, que foi aplicado posteriormente na série de Fourier. Ele basicamente nos diz que:

∫ - ∞ ∞ x t 2 d t = ∫ - ∞ ∞ X 2 π ω 2 d ω

Passo 2

Vamos pra solução! Nada demais, se liga:

f t = 5 e 2 e - t u ( t )

Transformando essa função para o domínio da frequência, teremos:

F ω = 5 e 2 1 + j ω ,     F ω 2 = 25 e 4 1 + ω 2

W 1 Ω = 1 π ∫ 0 ∞ F ω 2 d ω = 25 e 4 π ∫ 0 ∞ 1 1 + ω 2 d ω = 25 e 4 π tan - 1 ⁡ ω 0 ∞ = 12.5 e 4 = 682.5   J

Resposta

w 1 Ω = 682.5   J

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