Use transformadas de Laplace para determinar x ( t ) em

x (t) = cos (t) + int_0^t e^(lambda - t) x (lambda) d lambda

Passo 1

Vamos analisar individualmente o termo

int_0^t e^(lambda - t) x (lambda) d lambda

Escrevendo ele de outra maneira:

int_0^t x (lambda) e^(- ( t - lambda )) d lambda

Opa, o que isso te lembra??

Essa é a integral de convolução não é??

Então podemos dizer que

int_0^t x (lambda) e^(- ( t - lambda )) d lambda = x (t) * e^(- t)

Logo:

x (t) = cos (t) + ( x (t) * e^(- t) )

Passo 2

Agora vamos fazer a transformada de Laplace de x ( t ) .

Note que a convolução no domínio do tempo representa a multiplicação no domínio de Laplace beleza?

X (s) = (s)/(s^2 + 1) + X (s) . (1)/(s + 1)

Vamos passar X (s) . (1)/(s + 1) pro outro lado subtraindo:

X (s) - X (s) . (1)/(s + 1) = (s)/(s^2 + 1)

Colocando X ( s ) em evidência:

X (s) . (1 - (1)/(s + 1)) = (s)/(s^2 + 1)

Passo 3

Agora fazer fazer MMC para realizar a operação 1 - (1)/(s + 1)

X (s) . ((s + 1)/(s + 1) - (1)/(s + 1)) = (s)/(s^2 + 1)

X (s) . ((s)/(s + 1)) = (s)/(s^2 + 1)

Passando (s)/(s + 1) para o outro lado dividindo:

X (s) = ((s)/(s^2 + 1))/((s)/(s + 1))

X (s) = (s)/(s^2 + 1) . (s + 1)/(s)

X (s) = (s + 1)/(s^2 + 1)

Belezinha, agora é só fazer a transformada inversa de Laplace para encontrarmos x ( t ) :D

Passo 4

Podemos escrever X ( s ) como

X (s) = (s)/(s^2 + 1 ²) + (1)/(s^2 + 1 ²)

Fazendo a transformada inversa de cada um dos termos:

x (t) = cos (t) + s e n ( t )

Resposta

x (t) = cos (t) + s e n ( t )

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