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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 53

Use transformadas de Laplace para determinar x ( t ) em

x t = cos ⁡ t + ∫ 0 t e λ - t x λ   d λ

Passo 1

Vamos analisar individualmente o termo

∫ 0 t e λ - t x λ   d λ

Escrevendo ele de outra maneira:

∫ 0 t x λ e - ( t - λ )   d λ

Opa, o que isso te lembra??

Essa é a integral de convolução não é??

Então podemos dizer que

∫ 0 t x λ e - ( t - λ )   d λ = x t * e - t

Logo:

x t = cos ⁡ t + ( x t * e - t )

Passo 2

Agora vamos fazer a transformada de Laplace de x ( t ) .

Note que a convolução no domínio do tempo representa a multiplicação no domínio de Laplace beleza?

X s = s s 2 + 1 + X s . 1 s + 1

Vamos passar X s . 1 s + 1 pro outro lado subtraindo:

X s - X s . 1 s + 1 = s s 2 + 1

Colocando X ( s ) em evidência:

X s . 1 - 1 s + 1 = s s 2 + 1

Passo 3

Agora fazer fazer MMC para realizar a operação 1 - 1 s + 1

X s . s + 1 s + 1 - 1 s + 1 = s s 2 + 1

X s . s s + 1 = s s 2 + 1

Passando s s + 1 para o outro lado dividindo:

X s = s s 2 + 1 s s + 1

X s = s s 2 + 1 . s + 1 s

X s = s + 1 s 2 + 1

Belezinha, agora é só fazer a transformada inversa de Laplace para encontrarmos x ( t ) :D

Passo 4

Podemos escrever X ( s ) como

X s = s s 2 + 1 ² + 1 s 2 + 1 ²

Fazendo a transformada inversa de cada um dos termos:

x t = cos ⁡ t + s e n ( t )

Resposta

x t = cos ⁡ t + s e n ( t )

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