Enunciado
Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 37
Determine a transformada de Laplace inversa de:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
a) Para encontrarmos a transformada inversa de Laplace, primeiro vamos separar o que temos em frações parciais, pois temos termos sendo multiplicados no denominador, assim:
Precisamos encontrar e certo? Primeiro vamos somar as duas frações fazendo o MMC dos denominadores:
Opa, dos dois lados temos o mesmo denominador, então vamos cortar:
Colocando em evidência:
Passo 2
Agora é o seguinte: como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que ta multiplicando no lado esquerdo com o lado direito e depois igualar todos os termos independentes (constantes), assim ó:
Da equação , temos que .
Substituindo na equação :
Aee, achamos e , então:
Agora é só acharmos a transformada inversa disso :P
Passo 3
A transformada inversa de é , então a inversa de é ok?
Igualmente, a transformada inversa de é , logo, a inversa de é .
Assim, nossa transformada inversa é:
Passo 4
b) Vamos fazer frações parciais novamente:
Lembrando: quando o denominador tiver grau igual a 2, vamos remanejar o numerador para um polinômio de grau 1, como fizemos com a segunda fração.
Somando as frações (lembre-se do MMC viu?):
Abrindo as contas:
Vamos organizar os termos:
Passo 5
Agora, igual no item anterior, vamos igualar o que ta multiplicando , o que ta multiplicando e os termos independentes (constantes).
Isso nos dá o sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
Resolvendo esse sistema, temos:
Logo:
Passo 6
Podemos escrever assim:
(Pois e )
E então, simplificar o numerador e denominador da segunda fração
Lembrando que fizemos todas essas mudanças e simplificações na segunda fração apenas para chegarmos em um modelo de transformada de Laplace que esteja na tabela, para encontrarmos a sua inversa ok?
Comparando com as transformadas inversas da tabela, temos:
Passo 7
c) Vamos usar a seguinte regra:
Seja , teremos que
No nosso caso, , que é multiplicado por , então
Então:
Passo 8
d) De novo nas frações parciais hehe
Somando as frações:
Agrupando os termos:
Passo 9
Igual nos itens anteriores, vamos igualar os termos:
Da primeira equação, temos , substituindo na terceira:
Então, .
Da segunda equação, temos que , mas na quarta, temos , então, e só podem ser 0 :) Logo:
Então nossa transformada inversa é:
Resposta
a)
b)
c)
d)