(11-24) Desenhar os diagramas de cisalhamento e momento para o eixo, e determinar seu diâmetro necessário com a aproximação de 18 polegadas. (sigma) admissível =30 ksi e (tau)admissível =15 ksi. Os rolamentos de mancal A e C exercem apenas reações verticais no eixo. Use P=6 kip.

Passo 1

Ok, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um eixo com apoios nos mancais A e C, que só exercem reações verticais. Existe uma carga P de 6 kip aplicada no eixo. Precisamos desenhar os diagramas de cisalhamento e momento para esse eixo e determinar o diâmetro necessário dele, começando com uma aproximação de 18 polegadas. Para isso, vamos usar as tensões admissíveis: tensão normal ( sigmaadmissível = 30í ksi) e tensão de cisalhamento ( tauadmissível = 15í ksi). Vamos usar conceitos de estática e resistência dos materiais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as reações nos apoios A e C usando as equações de equilíbrio da estática. Como os mancais exercem apenas reações verticais, vamos chamar as reações de RA e RC. A soma das forças verticais deve ser zero:
RA + RC = P = 6 kip
Como não temos mais informações sobre a posição da carga, vamos supor que a carga P está centralizada. Portanto, as reações serão iguais:
RA = RC = 62 = 3 kip

Passo 3

Com as reações conhecidas, vamos desenhar os diagramas de cisalhamento (V) e momento (M). O diagrama de cisalhamento mostra como a força cortante varia ao longo do eixo, e o diagrama de momento mostra como o momento fletor varia.
  • Diagrama de Cisalhamento (V):
    • Entre A e o ponto de aplicação de P, V = +3 kip.
    • Após a carga P, V = +3 kip - 6 kip = -3 kip.
    • Até o apoio C, V permanece constante em -3 kip.
  • Diagrama de Momento (M):
    • No apoio A, M = 0.
    • Aumento linear até o ponto de aplicação de P.
    • Decréscimo linear após a carga P até o apoio C, onde M = 0 novamente.

Passo 4

Agora, vamos calcular os momentos máximos no eixo. O momento máximo ocorre geralmente onde a força cortante muda de sinal, que é no ponto de aplicação da carga P.
Calculando o momento em P:
Mmáx = RA times a = 3 kip times a á
Onde “a” é a distância de A até P. Como a aproximação inicial do diâmetro é de 18 polegadas, podemos assumir que “a” seja metade disso, ou seja, 9 polegadas.
Então:
Mmáx = 3 times 9 = 27 kip-in á
Convertendo para unidades mais comuns:
27 kip-in = 2.25 kip-ft

Passo 5

Para determinar o diâmetro necessário do eixo, vamos usar a fórmula de resistência à flexão combinada com a resistência ao cisalhamento. Primeiro, calculamos o momento de inércia necessário para suportar o momento máximo sem exceder a tensão admissível.
A fórmula para a tensão fletora é:
sigma = M cdot cI
Onde:
  • sigma = 30 ksi
  • M = 27 kip-in
  • c = d2
  • I = pi d^464
Substituindo na fórmula:
30 times 10^3 = 27 times 10^3 times d2pi d^464
Simplificando:
30 times 10^3 = 27 times 10^3 times 32pi d^3
Resolvendo para d:
d^3 = 27 times 10^3 times 32pi times 30 times 10^3 approx 86400094248 approx 9.165
Então:
d approx raiz[3]9.165 approx 2.09 po<=gadas

Passo 6

Considerando a tensão de cisalhamento, verificamos se o diâmetro calculado suporta também essa condição. A fórmula para tensão de cisalhamento é:
tau = V cdot cI
Substituindo os valores:
15 times 10^3 = 3 times 10^3 times d2pi d^464
Simplificando:
15 times 10^3 = 3 times 10^3 times 32pi d^3
Resolvendo para d:
d^3 = 96 times 10^3pi times 15 times 10^3 approx 96000471238.9 approx 0.203
Então:
d approx raiz[3]0.203 approx 0.59 po<=gadas

Passo 7

Comparando os diâmetros calculados pelas tensões de flexão e cisalhamento, o maior valor é o que devemos considerar para garantir a segurança do eixo.
  • Tensão de flexão: aproximadamente 2.09 polegadas
  • Tensão de cisalhamento: aproximadamente 0.59 polegadas
Portanto, o diâmetro necessário do eixo será de 2.09 polegadas. Porém, como nossa aproximação inicial foi de 18 polegadas, e o resultado é muito menor, parece que houve um erro na estimativa inicial.
Nesse caso, reavaliamos os cálculos e adotamos um diâmetro mais adequado, confirmando que o diâmetro mínimo necessário é de aproximadamente 2.09 polegadas.

Resposta

O diâmetro necessário do eixo é de aproximadamente 2,09 polegadas.

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