(8.15 Alaor) Um projétil, com velocidade de a um ângulo de 60 graus com a horizontal e à altitude de 20 m , explode em duas partes iguais. Uma delas é lançada verticalmente para cima com velocidade de . Qual é a distância entre os pontos em que as duas metades atingem o solo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um projétil que foi lançado com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal, e ele está a uma altitude de quando explode. A explosão divide o projétil em duas partes iguais. Uma dessas partes é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de . A gente precisa descobrir qual é a distância entre os pontos onde essas duas metades vão atingir o solo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento de projéteis e o movimento vertical. Também vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento, já que a explosão divide o projétil em duas partes iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento antes da explosão. O projétil é lançado com uma velocidade de a . Vamos separar essa velocidade nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ).
A componente horizontal é:
A componente vertical é:

Passo 3

Agora, na explosão, o projétil se divide em duas partes iguais. Vamos chamar cada parte de massa . Antes da explosão, a quantidade de movimento horizontal total era:
Após a explosão, uma das partes é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de . Isso significa que sua velocidade horizontal é zero, já que está lançada apenas na vertical. A outra parte manterá a quantidade de movimento horizontal para conservar o movimento total.
Então, a quantidade de movimento horizontal da segunda parte será:
Portanto, a segunda parte continua com uma velocidade horizontal de .

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que cada parte leva para atingir o solo.
Para a primeira parte (lançada verticalmente para cima):
Usamos a equação do movimento vertical:
Onde:
  • (altura inicial)
  • (velocidade inicial vertical para cima)
  • (aceleração da gravidade)
Queremos encontrar o tempo quando :
Multiplicando tudo por -1:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Desconsideramos a solução negativa:
Para a segunda parte (movimento horizontal):
A segunda parte só tem movimento horizontal e está se movendo a . O tempo para atingir o solo será o mesmo da primeira parte, já que ambas estão a mesma altura de explosão e caem simultaneamente.
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância percorrida pela segunda parte durante esse tempo.
A velocidade horizontal é constante, então:
Para a primeira parte, que foi lançada verticalmente:
Como ela foi lançada apenas para cima e não tem movimento horizontal, a distância horizontal percorrida é zero.

Passo 6

Agora, para encontrar a distância entre os pontos onde as duas partes atingem o solo, consideramos que uma parte caiu exatamente abaixo do ponto de explosão (porque não teve deslocamento horizontal) e a outra percorreu aproximadamente horizontalmente.

Resposta

A distância entre os pontos onde as duas metades atingem o solo é de aproximadamente .

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