(8.15 Alaor) Um projétil, com velocidade de 30 m / s a um ângulo de 60 graus com a horizontal e à altitude de 20 m , explode em duas partes iguais. Uma delas é lançada verticalmente para cima com velocidade de 20 m / s. Qual é a distância entre os pontos em que as duas metades atingem o solo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um projétil que foi lançado com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal, e ele está a uma altitude de quando explode. A explosão divide o projétil em duas partes iguais. Uma dessas partes é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de . A gente precisa descobrir qual é a distância entre os pontos onde essas duas metades vão atingir o solo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento de projéteis e o movimento vertical. Também vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento, já que a explosão divide o projétil em duas partes iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento antes da explosão. O projétil é lançado com uma velocidade de vx = v cdot cos(theta) = 30 cdot cos(60^circ) = 30 cdot 0,5 = 15, m/s a vy = v cdot sin(theta) = 30 cdot sin(60^circ) = 30 cdot raiz32 approx 25,98, m/s . Vamos separar essa velocidade nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ).
A componente horizontal é:
A componente vertical é:

Passo 3

Agora, na explosão, o projétil se divide em duas partes iguais. Vamos chamar cada parte de massa ptotal = 2m cdot vx = 2m cdot 15 = 30m, kg·m/s . Antes da explosão, a quantidade de movimento horizontal total era:
psegunda = m cdot vx' = 30m - 0 = 30m
Após a explosão, uma das partes é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de vx' = 30mm = 30, m/s . Isso significa que sua velocidade horizontal é zero, já que está lançada apenas na vertical. A outra parte manterá a quantidade de movimento horizontal para conservar o movimento total.
Então, a quantidade de movimento horizontal da segunda parte será:
Portanto, a segunda parte continua com uma velocidade horizontal de .

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que cada parte leva para atingir o solo.
Para a primeira parte (lançada verticalmente para cima):
Usamos a equação do movimento vertical:
y(t) = y0 + vy0 t - 12 g t^2
Onde:
  • 0 = 20 + 20 t - 12 cdot 9,8 t^2 (altura inicial)
  • 0 = 20 + 20 t - 4,9 t^2 (velocidade inicial vertical para cima)
  • 4,9 t^2 - 20 t - 20 = 0 (aceleração da gravidade)
Queremos encontrar o tempo t = 20 pm raiz(20)^2 - 4 cdot 4,9 cdot (-20)2 cdot 4,9 quando t = 20 pm raiz400 + 3929,8 :
t = 20 pm raiz7929,8
t approx 20 pm 28,149,8
Multiplicando tudo por -1:
t approx 48,149,8 approx 4,91, s
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Desconsideramos a solução negativa:
Para a segunda parte (movimento horizontal):
A segunda parte só tem movimento horizontal e está se movendo a . O tempo para atingir o solo será o mesmo da primeira parte, já que ambas estão a mesma altura de explosão e caem simultaneamente.
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância percorrida pela segunda parte durante esse tempo.
A velocidade horizontal é constante, então:
d = vx' cdot t = 30 cdot 4,91 approx 147,3, m
Para a primeira parte, que foi lançada verticalmente:
Como ela foi lançada apenas para cima e não tem movimento horizontal, a distância horizontal percorrida é zero.

Passo 6

Agora, para encontrar a distância entre os pontos onde as duas partes atingem o solo, consideramos que uma parte caiu exatamente abaixo do ponto de explosão (porque não teve deslocamento horizontal) e a outra percorreu aproximadamente horizontalmente.

Resposta

A distância entre os pontos onde as duas metades atingem o solo é de aproximadamente .

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